Una gota de tinta se dispersa en un vaso de agua: sus bordes se mueven más rápido que el centro y la forma de la gota cambia. De igual manera, un cúmulo de materia oscura que se contrae bajo su propia gravedad se expande de manera no uniforme: sus distintas capas se alejan a velocidades diferentes. Antes, los astrofísicos solo podían describir con precisión el caso más simple, una esfera homogénea con un borde abrupto, que tiene un único ritmo de expansión. Pero los cúmulos reales son suaves: la densidad disminuye gradualmente desde el centro hacia el borde, y cada capa siente su propia atracción.

Los autores introducen dos números para cada punto: el contraste local, cuánto más denso es el punto en comparación con el promedio del universo, y el contraste interno, cuánto más denso es todo lo que está dentro de ese punto en comparación con el promedio. Resulta que la velocidad de expansión transversal al radio depende solo del contraste interno, mientras que la velocidad a lo largo del radio depende además de la diferencia entre el contraste local y el interno. Esta diferencia es precisamente la que indica cuán abruptamente cambia la densidad de un punto a otro: si es grande, las capas se estiran más.

Para estimaciones rápidas, se propone una aproximación simple de tres términos que tiene un error de no más del 0.7% en un amplio rango de cosmologías. Esto significa que, en lugar de largos cálculos por computadora, se pueden obtener las velocidades al instante a partir de un perfil de densidad dado. Antes, para cada nuevo perfil había que resolver de nuevo las ecuaciones de movimiento; ahora basta con sustituir los números en una fórmula ya preparada.

Utilidad práctica: en las simulaciones cosmológicas y en los modelos analíticos de formación de estructuras, a menudo se necesitan precisamente perfiles esféricos. El nuevo resultado permite calcular velocidades rápidamente sin tener que resolver la dinámica de nuevo, lo que ahorra tiempo y simplifica la interpretación de los datos sobre velocidades peculiares de las galaxias.

La gota de tinta en el vaso vuelve a la mente: ahora su dispersión se puede describir con una sola función, conociendo solo la distribución de tinta en cada momento. Así también el cúmulo de materia oscura: su expansión queda completamente determinada por el perfil de densidad y una función universal, la misma para todas las formas esféricas suaves.