teorema de Stokesteorema
Formulado a mediados del siglo XIX por George Stokes para la hidrodinámica, la famosa fórmula se convirtió rápidamente en una herramienta universal de la física. La forma clásica: la circulación de un vector a lo largo de un contorno cerrado es igual al flujo de su rotacional a través de cualquier superficie que se apoye en el contorno: ∮_C F·dr = ∬_S (∇×F)·dS. La versión generalizada —el gran teorema de Stokes— establece: la integral de una forma diferencial a lo largo del borde de una variedad es igual a la integral de su derivada exterior sobre toda la variedad. Esta fórmula unifica elegantemente casos particulares: los teoremas de Green en el plano, de Gauss-Ostrogradski en el espacio y el propio teorema de Kelvin-Stokes.
How it works
La fuerza de sustentación de un ala es una consecuencia directa de la circulación del aire alrededor del perfil; el teorema de Stokes la relaciona con los vórtices que se desprenden del borde de salida. En una placa de inducción, el campo magnético variable genera un campo eléctrico rotacional en el recipiente metálico, y las corrientes lo calientan: es la ley de Faraday en forma integral, equivalente al teorema de Stokes.
💡 La expresión más concisa del teorema fundamental del análisis ∫_a^b f'(x)dx = f(b)–f(a) es también un caso particular del teorema de Stokes general, solo que para un segmento unidimensional.
\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_{S} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}
∮_∂S — integral a lo largo del contorno cerrado ∂S; F — campo vectorial; dr — elemento de camino; ∬_S — integral sobre la superficie S; ∇×F — rotacional de F; dS — elemento de área, orientado según la normal
\int_{M} d\omega = \int_{\partial M} \omega
∫_M — integral sobre la variedad M; dω — derivada exterior de la k-forma ω; ∫_∂M — integral sobre el borde ∂M. El lado derecho se interpreta como «flujo a través del borde»