teorema de Gaussteorema
En matemáticas, este es el teorema de la divergencia, formulado independientemente por Carl Friedrich Gauss (para la gravedad), Mijaíl Ostrogradski (de forma más general) y George Green. En física se convirtió en la base de la ley de Gauss para la electricidad (una de las ecuaciones de Maxwell) y para la gravedad. La idea: la «divergencia» total del campo dentro de un volumen es igual al flujo a través de su frontera. Para la electricidad: ∮ E·dA = Q/ε₀ — la carga crea un campo, y su flujo a través de cualquier superficie cerrada que la rodee es el mismo.
How it works
Ejemplo: alrededor de una esfera cargada, el campo eléctrico disminuye como 1/r², y el flujo a través de cualquier esfera a su alrededor es el mismo. Si dentro de la esfera no hay carga, entonces cuantas líneas de fuerza entraron, tantas salieron: el flujo es cero. En este principio se basa el pararrayos: la punta crea un campo alto y el exceso de carga «fluye» de ella, impidiendo la caída del rayo.
💡 El teorema funciona incluso en el espacio-tiempo curvado de la relatividad general, donde entra en las ecuaciones de Einstein para la gravedad.
\oint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \int_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) dV
∮_{∂V} — integral sobre la superficie cerrada ∂V que limita el volumen V; F — campo vectorial; dS — elemento vectorial de superficie (dirigido hacia fuera); ∇·F — divergencia del campo F; dV — elemento de volumen.
\oint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}
∮_{∂V} — integral sobre una superficie cerrada; E — intensidad del campo eléctrico; dA — vector elemento de área; Q_enc — carga eléctrica encerrada dentro de la superficie; ε₀ — permitividad eléctrica del vacío (ε₀ ≈ 8.8541878188×10⁻¹² F/m).