Оркестр играет в тёмном зале, и слушатель слышит только гул: сотни инструментов сливаются в плотный шум, в котором невозможно различить мелодию. Примерно так выглядят спектры, которые извлекают из климатических данных методы вроде оператора Купмана: сотни компонент, каждая со своей частотой, и непонятно, какие из них — настоящие музыканты, а какие — дребезжание стульев. Оператор Купмана — это математический дирижёр, который описывает нелинейную динамику через линейное действие на функциях состояния, но его оркестр слишком велик, чтобы им можно было дирижировать.
Авторы работы решили найти в этом шуме устойчивые ноты. Они взяли помесячные аномалии температуры поверхности тропической Пацифики из двух независимых источников: реанализа ERA5 и реконструкции HadISST. Данные за 1940–2010 годы служили обучающей выборкой, а последующие пятнадцать лет — проверочной. Для каждой вычисленной пары «собственное значение — собственная функция» они оценивали остаток по методу ResDMD: насколько хорошо эта пара удовлетворяет уравнению Купмана. Затем вдоль единичной окружности строили псевдоспектральную функцию остатка. Локальные минимумы этой функции указывают на частоты, которые не сбиваются от лёгкого толчка, как камертон, который продолжает звенеть, даже если рядом хлопнуть в ладоши.
Эти девятнадцать устойчивых частот образуют коопмановский каркас. Среди них есть компонента с периодом около 3.6 года, пространственная структура которой повторяет канонический Эль-Ниньо с аномалиями в центральной и восточной экваториальной Пацифике. Более длинные моды около 12.6 года имеют широкую бассейновую структуру с заметной меридиональной асимметрией, а короткие моды около 2.1–2.4 года сосредоточены ближе к центральной части экватора. Реконструкция индекса Ниньо-3.4 на основе этих девятнадцати мод объясняет 92% дисперсии обучающего периода. Для сравнения, моды с наибольшей амплитудой объясняют лишь 18% при стандартных собственных функциях и 81% при псевдособственных функциях.
Остальные сотни собственных пар не являются независимыми музыкантами. Многие из них совпадают с целыми степенями фундаментальных мод, причём остаток растёт с порядком степени. Это как если бы в оркестре, помимо девятнадцати основных инструментов, звучали их обертоны и комбинации: флейта и гобой вместе порождают третий тон, который не является отдельным инструментом, а лишь их совместным звучанием. Прогнозы на основе коопмановского каркаса сохраняют мастерство на сроках 8–18 месяцев, превосходя линейную обратную модель и модели, использующие весь спектр или только амплитудные моды.
В тёмном зале теперь слышна мелодия. Девятнадцать нот, из которых складывается Эль-Ниньо, — это не просто математическая абстракция, а реальные колебания, которые можно отслеживать и использовать для прогноза. Когда в следующий раз Тихий океан решит перестроить атмосферную циркуляцию по всему земному шару, у нас будет партитура.
Из примерно 800 собственных пар, которые выдаёт k-EDMD для каждого набора данных, всего 19 фундаментальных мод достаточно, чтобы объяснить 92% изменчивости главного индекса Эль-Ниньо. При этом моды с наибольшей амплитудой, которые обычно выбирают в редуцированных моделях, объясняют лишь 18% той же изменчивости, если использовать стандартные собственные функции.
Идея скрытого низкоразмерного каркаса за плотным спектром напоминает сюжет рассказа Теда Чана «История твоей жизни», где сложный нелинейный сигнал оказывается порождённым небольшим набором базовых паттернов, понимание которых меняет восприятие времени и предсказание будущего.