Собственное значение — это скаляр, связанный с линейным преобразованием, удовлетворяющий определённому уравнению.Собственное значение — скаляр λ, удовлетворяющий уравнению Av = λv, где A — линейное преобразование или матрица, v — ненулевой собственный вектор. Они отражают ключевые свойства преобразования: набор всех собственных значений называется спектром. В физике собственные значения представляют измеримые величины (например, энергия в квантовой механике). След и определитель матрицы равны сумме и произведению собственных значений соответственно.
Задача о собственных значениях возникла у Эйлера при изучении вращения твёрдых тел (1765), где он нашёл главные оси вращения (собственные векторы) и моменты инерции (связанные с собственными значениями). В XIX веке Коши применил собственные значения к квадратичным формам, а Вейерштрасс формализовал теорию. Гильберт ввёл термины «eigenvalue» и «eigenvector» около 1900 года. Связь с квантовой механикой появилась в 1920-х, когда Шрёдингер записал своё волновое уравнение как проблему собственных значений, где собственные значения соответствуют уровням энергии.
Для квадратной матрицы A уравнение (A - λI)v = 0 имеет ненулевые решения v, только если определитель (A - λI) равен нулю, откуда получается характеристическое уравнение. Решение этого полиномиального уравнения даёт собственные значения. Для симметричных или эрмитовых матриц собственные векторы ортогональны, а собственные значения вещественны — результат спектральной теоремы. В функциональном анализе задача обобщается на дифференциальные операторы (теория Штурма-Лиувилля). Численно собственные значения вычисляют степенными итерациями и QR-алгоритмом. В квантовой механике наблюдаемые — эрмитовы операторы, а результат измерения — одно из собственных значений, с собственными векторами как состояниями.
Алгоритм PageRank от Google использует собственные значения для ранжирования веб-страниц; анализ вибраций мостов и зданий опирается на собственные значения, чтобы избегать резонансных частот.
По собственным значениям квадратичной формы можно определить, является ли фигура эллипсом (оба положительны) или гиперболой (разные знаки).
| \mathbf{y} | переменная | вектор выхода — vector |
| \mathbf{x} | переменная | вектор входа — vector |
| \mathbf{A} | переменная | матрица линейного преобразования — matrix |