Ударьте по камертону — и он зазвучит на одной-единственной частоте. Так и у простых чисел есть свой общий «тон» — число λ∞, равное примерно 0,674036. Хотя простые числа разбросаны вроде бы случайно, их поведение подчиняется строгим законам. Если для каждого простого числа p составить дробь 1/(λ∞·p² − p + 1) и сложить все такие дроби, получится ровно 1. Эта постоянная — главное число огромной сети связей между простыми числами.

Чтобы найти λ∞, математик Алессандро Мунари построил такую сеть из первых 10 миллионов простых чисел. Дальше вклад становится крошечным, но его всё равно нужно учесть. Для этого применили хитроумный способ приближённого счёта и мощный компьютерный метод — алгоритм Ньютона. 11 шагов, 336 секунд — и готово: 500 точных знаков после запятой. Результат перепроверили статистическими тестами и алгоритмами поиска закономерностей, но никакого простого выражения для λ∞ не нашли.

Эта константа — для простых чисел то же, что π²/6 для всех целых. Интересно, что самый большой вклад вносит двойка: без неё уравнение просто не сошлось бы. Пока неизвестно, можно ли записать λ∞ обычной дробью, но ясно одно: таинственный камертон простых чисел прозвучал, и его мелодию ещё предстоит разгадать.