Вода превращается в лёд при нуле градусов — резко, без промежуточных состояний. Нечто похожее происходит со сложностью, когда мы берём случайное квантовое состояние целой системы и смотрим только на её часть. Пока эта часть занимает меньше половины системы, её сложность растёт плавно. Но как только доля переваливает за 50%, происходит скачок.

Такой переход назвали «пейдж-подобным» — в честь кривой Пейджа для информации в чёрных дырах. Авторы работы идут дальше и объясняют причину. До середины сложность диктуется спектром энергий (набором доступных уровней), а после — конкретным выбором базиса, то есть тем, как мы описываем состояния. В маленьком городе порядок определялся бы общими законами, а в большом к ним добавляется ещё и то, кто именно живёт в каждом доме.

Затем идею применили к испаряющейся чёрной дыре в пространстве анти-де Ситтера, соединённой с тепловой ванной. С помощью игрушечной модели — квантовой схемы со случайной эволюцией — физики показали, что сложность излучения тоже испытывает резкий переход. В голографическом описании этот переход связан с появлением «острова» — области внутри чёрной дыры, которая внезапно начинает давать вклад в объём.

Так разрешается кажущийся парадокс: сложность излучения не теряется, а перестраивается, когда чёрная дыра стареет. И снова половина оказывается рубежом — как для воды при нуле градусов.