ينزلق شعاع ضوئي على طول أفق الثقب الأسود — تلك الحدود غير المرئية التي لا يمكن لأي شيء الإفلات منها. كلما اقترب الشعاع من الأفق، كلما تباطأ «زمنه» الخاص — مقياس خاص للمسار يسمى المعامل الألفي (affine parameter). هذا المعامل لا يتزايد بشكل سلس، بل بشكل انفجاري، مثل كرة ثلج تتدحرج من جبل: كل لحظة تالية تجلب زيادة أكبر. في هذا القانون الانفجاري تحديدًا تكمن درجة حرارة الثقب الأسود.
في العمل، يُظهر أن الجاذبية السطحية — الكمية التي تحدد تسخين الثقب — تُحدد من خلال ما يسمى بمشتقة شفارتز (Schwarzian derivative). هذه الأداة الرياضية، وكأنها مقياس حساس للانحناء، تلتقط مدى «تمزق» إيقاع أشعة الضوء. إذا نما المعامل الألفي كدالة أسية، فإن مشتقة شفارتز تعطي عددًا ثابتًا، وهذا العدد هو مربع الجاذبية السطحية. وهكذا تتوقف درجة الحرارة عن كونها خاصية غامضة للمادة وتصبح بصمة لهندسة الأفق نفسه.
اختبر المؤلفون الفكرة على نموذج بكتلة متغيرة: حتى عندما «ينحف» الثقب الأسود أو «يسمن»، تظل العلاقة بين الجاذبية السطحية ومشتقة شفارتز قائمة. هذا تلميح إلى أن الديناميكا الحرارية للثقوب السوداء — درجة الحرارة، الإشعاع، الإنتروبيا — يمكن اشتقاقها بالكامل من الهندسة الإسقاطية للأفق. إذا كان الأمر كذلك، فإن الثقب الأسود يشبه آلة موسيقية، صوته (الإشعاع الحراري) محدد بالكامل بشكل الرنان (الأفق).
مشتقة شفارتز مدينة باسمها لعالم الرياضيات الألماني هيرمان شفارتز، لكنها دخلت الفيزياء عبر نظرية الأوتار ونظريات الحقل المطابق — والآن تساعد في فهم الثقوب السوداء.
في رواية «هايبريون» لدان سيمونز، تحيط قبور الزمن حقل مضاد للإنتروبيا — وكأن الهندسة هناك تملي قوانينها الخاصة للديناميكا الحرارية، كما هو الحال مع أفق الثقب الأسود.