يغوص الإلكترون في البلورة، مغيرًا طاقته في أثناء حركته. في الشبيكة العادية يرى تتابعًا من النطاقات المسموحة والفجوات الممنوعة — هذه أبجدية أشباه الموصلات. لكن في شبه البلورة لا يتكرر نمط الذرات بدقة أبدًا. الطيف أيضًا مليء بالفجوات، وداخل أي فجوة تكون كثافة الحالات الإلكترونية ثابتة. ما الأعداد التي يمكن أن تأخذها؟ الجواب، كما اتضح، مكتوب في طوبولوجيا النمط نفسه — تمامًا كما تُحدد الشفرة الوراثية شكل البروتين.

قبل أربعين عامًا، بيّن جان بيليسار أن المفتاح يكمن في نظرية-K لجبر C*- (جبور المؤثرات التي تعمم الأعداد المركبة) وهومولوجيا فضاء الحُزَم شبه الزمرة (تعميم للزمرة حيث الضرب غير معرف لكل الأزواج). لكن الوصف الجبري الدقيق كان بعيد المنال. يقدم العمل الجديد لهيروكي ماتسوي طريقة موحدة — سَلسَلة الجينوم غير الدوري. إنه يدرس الأنظمة الديناميكية — أفعال زمر متعددة-Z على مجموعات كانتور، النماذج الكلاسيكية في الطوبولوجيا. بدلاً من الحساب المباشر لزمر نظرية-K، يبني ماتسوي جسورًا نحو الهومولوجيا عبر المتتاليات الدقيقة (سلاسل من التطبيقات حيث تنطبق الصورة مع النواة).

بالنسبة لـالزمر متعددة-Z ذات طول هيرش حتى 4، تقدم الطريقة صورة شبه كاملة. في الحالتين أحادية وثنائية البعد، تتحقق فرضية HK بدقة: نظرية-K متشاكلة مع مجموع الهومولوجيات، ويكون وسم الفجوة بأعداد صحيحة. بالنسبة للفعل ثلاثي الأبعاد Z³، تم البرهان لأول مرة بدقة على فرضية HK التكاملية. بالنسبة للأنظمة الأكثر تعقيدًا يظهر العامل ½، حيث تكون العائق دائمًا من المرتبة 2 — وهذا صدى للتبديلات في الزمرة التامة الطوبولوجية. أفكار هنري بوانكاريه (الثنائية)، وديفيد هيلبرت (الفضاءات المجردة)، وجون فون نيومان (جبور المؤثرات) تتخلل البناء كله.

تكشف الطريقة أيضًا عن سبب تحقق النسخ الكسرية للفرضيات على نطاق واسع، بينما لا تتحقق التكاملية: العقبات لها التواء من المرتبة 2. لإزالة النصف سيئ السمعة، قد نحتاج إلى محدد دو لا هارب–سكانداليس أو متتالية طيفية أدق. ينتظرنا التحقق من فرضية HK للزمر ذات طول هيرش 5 ونقل التقنية إلى شبه الزمر ذات الالتواء. الهدف البعيد هو تصنيف الأنماط غير الدورية ذاتها وفقًا لـ’جينومها‘ الطيفي. جينوم البلورة غير الدورية قد قُرئ تقريبًا؛ لم يتبقَّ سوى تصحيح بضع أخطاء مطبعية في الكودونات.