في السلاسل الجبلية، هناك مسارات يمكن ضغطها إلى نقطة إذا سلكت واديًا مستويًا. وهناك مسارات دائرية يستحيل تقليصها دون عبور سلسلة جبلية. اكتشف الفيزيائيون الذين يدرسون الأطوار الكمومية أن مخطط أطوارهم مبني بنفس الطريقة: فيه مسارات مغلقة لا يمكن تقليصها إلى نقطة دون عبور منطقة تختفي فيها فجوة الطاقة.

تُعرف هذه المسارات باسم الحلقات غير القابلة للانكماش. وهي تُظهر أنه لا يمكن الانتقال بسلاسة بين طورين دون المرور بنقطة حرجة. سابقًا، دُرست هذه الحلقات بشكل منفصل: إما عندما يكون التناظر محفوظًا أو عندما يكون منكسرًا تمامًا. لكن في الأنظمة الحقيقية، تتفاعل التناظرات، وقد يكون أحدها منكسرًا بينما الآخر ليس كذلك.

استخدم المؤلفون طريقة الثنائية (duality)، التي تربط مخططات الأطوار لنظامين، تمامًا كما تعكس المرآة اليمين واليسار. على سبيل المثال، ثنائية كرامرز-فانييه تتبادل الجدران المجالية والشحنات. سمح ذلك بنقل تصنيف الحلقات من جانب إلى آخر وبناء تطورات وحدوية صريحة تولّد حلقات غير قابلة للانكماش.

كانت النتائج غير متوقعة. بالنسبة للأنظمة ذات التناظر الشاذ Z₂×Z₂، تُصنَّف الحلقات بواسطة المجموعة Z₄، لأن الجدار المجالي لأحد التناظرات يحمل نصف شحنة الآخر. بالنسبة للمجموعات ثنائية السطوح D₂ₙ، يعتمد التصنيف على تكافؤ n: عندما يكون n فرديًا، يكون التصنيف D₂ₙ، وعندما يكون زوجيًا، يكون D₈ أو Z₂×Z₂. بالنسبة للتناظرات غير القابلة للعكس، يعتمد تصنيف الحلقات على ما إذا كانت النقطة الأساسية تافهة، وهذا يتناقض مع الأطوار العادية.

هذه النتائج تقدّم أداة للبحث عن النقاط اللافجوية الحتمية في الأنظمة الكمومية. إذا كان هناك حلقة غير قابلة للانكماش في مخطط الأطوار، فلا بد أن توجد على طولها نقطة تُغلق عندها الفجوة. هذا مثل معرفة أن المسار الدائري سيلتقي حتمًا بممر جبلي، حتى لو لم تره من بداية الطريق. يعمّق العمل فهم البنية الطوبولوجية لمخططات الأطوار ويفتح الطريق لتصنيف الأطوار ذات التناظرات الغريبة.