عنصر زاوية صلبة مربع

الوصف

عنصر الزاوية المجسمة المربع، الذي يُكتب غالبًا بالرمز dΩ²، هو تدوين مختصر يظهر في التكاملات على الكرة الكاملة في الفيزياء، خاصة في توسعات متعددة الأقطاب ودوال الارتباط الزاوي. وهو يمثل حاصل ضرب عنصري زاوية مجسمة متناهيين في الصغر، عادةً dΩ₁ dΩ₂، ويُستخدم عند التكامل على اتجاهين مختلفين في السماء. هذا التدوين شائع في علم الكون وميكانيكا الكم عند التعامل مع دوال الارتباط الثنائية أو سعات التشتت.

التاريخ

التدوين dΩ² هو اختصار رياضي قياسي ظهر في منتصف القرن العشرين مع تطور تحليل الارتباط الزاوي في علم الكون وفيزياء الجسيمات. ليس له مخترع واحد، بل أصبح تقليديًا في الكتب المدرسية والأوراق البحثية.

كيف يعمل

في الإحداثيات الكروية، عنصر الزاوية المجسمة هو dΩ = sin θ dθ dφ، حيث θ هي الزاوية القطبية وφ هي الزاوية السميتية. عندما ترى dΩ²، فهذا يعني أنك تتكامل على اتجاهين مستقلين، لكل منهما عنصر الزاوية المجسمة الخاص به. على سبيل المثال، في طيف القدرة الزاوي لإشعاع الخلفية الكونية الميكروي، قد تتكامل على حاصل ضرب تذبذبين في درجة الحرارة عند اتجاهين مختلفين، كل منهما مُوزون بـ dΩ. التدوين المربع هو طريقة مقتضبة للإشارة إلى أن التكامل يتم على الفضاء رباعي الأبعاد الكامل لمتجهي وحدة.

في التطبيق

يظهر في تعريف دالة الارتباط الزاوي الثنائية في علم الكون، حيث يُستخدم لقياس تجمع المجرات أو تذبذبات درجة حرارة إشعاع الخلفية الكونية الميكروي عبر السماء.

حقيقة طريفة

تكامل dΩ على الكرة الكاملة يساوي 4π، لذا فإن تكامل dΩ² على كرتين كاملتين يساوي (4π)² = 16π²، وهي قيمة تظهر في عوامل التطبيع للعديد من صيغ طيف القدرة الزاوي.

Concept graph →

صيغ

$$ds^2 = -e^{2\rho} dt^2 + e^{2\lambda} dr^2 + r^2 d\Omega^2$$

Metric for spherically symmetric spacetime in general coordinates.

ما في الصيغة

ds^2	متغير	spacetime interval — فاصل الزمكان metre squared
dt	متغير	coordinate time differential — time differential second
dr	متغير	radial coordinate differential — radial coordinate differential metre
dΩ^2	متغير	solid angle element squared — عنصر زاوية صلبة مربع
ρ	متغير	metric function of r and t — metric function
λ	متغير	metric function of r and t — metric function
r	متغير	radial coordinate — إحداثي قطري metre

$$ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right) c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2$$

Describes spacetime around a spherically symmetric mass.