operador traza — de la anatomía de las fórmulasEl operador traza es una función matemática que toma una matriz cuadrada y devuelve la suma de sus entradas diagonales. En física, aparece constantemente en mecánica cuántica y mecánica estadística, donde proporciona una manera de calcular valores esperados y probabilidades a partir de matrices de densidad. La traza es invariante bajo cambios de base, lo que significa que captura propiedades intrínsecas de una aplicación lineal en lugar de artefactos de un sistema de coordenadas particular.
El concepto de traza se remonta al siglo XIX, con usos tempranos en la teoría de matrices por matemáticos como Arthur Cayley y James Joseph Sylvester. Su aplicación sistemática en física creció con el desarrollo de la mecánica cuántica en la década de 1920.
Para una matriz A con entradas A_ij, la traza se define como tr(A) = Σ_i A_ii. Esta suma simple tiene propiedades poderosas: tr(AB) = tr(BA) para cualesquiera dos matrices (aunque AB y BA puedan diferir), y tr(UAU⁻¹) = tr(A) para cualquier matriz invertible U. En mecánica cuántica, el valor esperado de un observable O en un estado descrito por la matriz de densidad ρ es ⟨O⟩ = tr(ρO), y la traza de ρ misma es siempre 1 para un estado normalizado.
El operador traza es esencial en computación cuántica para simular circuitos cuánticos, en física de la materia condensada para calcular funciones de partición, y en aprendizaje automático para factorización de matrices y regularización.
La traza de una matriz es igual a la suma de sus autovalores, contando multiplicidad, por lo que aparece en el polinomio característico y en la definición del determinante.
| U | variable | First unitary matrix — unitary matrix |
| V | variable | Second unitary matrix — unitary matrix |
| N | variable | Dimension of the Hilbert space — dimensión |
| Tr | operador | Sum of diagonal elements of a matrix — operador traza |
| † | operador | Conjugate transpose of a matrix — hermitian conjugate |
| | | | operador | Magnitude of a complex number — valor absoluto |
| ρ | variable | density operator of the first quantum state — density operator |
| σ | variable | density operator of the second quantum state — density operator |
| tr | operador | sums diagonal elements of an operator in any basis — operador traza |
| log | operador | takes the operator logarithm, defined via spectral decomposition — matrix logarithm |
| S | variable | von Neumann entropy — entropía joule per kelvin |
| ρ | variable | density matrix of the quantum state — matriz de densidad |
| tr | operador | sums diagonal elements of a matrix — operador traza |
| ln | operador | takes the natural logarithm — logaritmo natural |
| A | variable | Operator whose expectation is taken — operator |
| ρ | variable | Density matrix (quantum state) — matriz de densidad |
| Tr | operador | Computes the sum of diagonal elements of a matrix — operador traza |
| F | variable | Quantum fidelity between states — fidelidad |
| ρ | variable | Density matrix of first quantum state — matriz de densidad |
| σ | variable | Density matrix of second quantum state — matriz de densidad |
| Tr | operador | Sum of diagonal elements of a matrix — operador traza |
| √ | operador | Principal square root of a positive semidefinite matrix — matrix square root |
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