La gravité quantique ressemble à de la comptabilité : chaque trajectoire possible est une écriture dans un grand livre, et pour faire le bilan, il faut toutes les additionner. Mais que faire d'un trou noir qui ne reste pas en place, qui tourne — et de surcroît en temps imaginaire ?
Les auteurs ont trouvé des « points selles » particuliers — des configurations de champs qui donnent la contribution principale à la somme sur les histoires. Ces points décrivent une corde noire en dix dimensions avec trois types de charges (qu'on peut se représenter comme des charges monopolaires Q1, Q5 et Qn) et un moment cinétique JL. L'astuce est que la vitesse angulaire ΩR est purement imaginaire et rigidement liée à la température inverse β : ΩR = -2πi/β. Ce n'est pas un truc, mais une façon d'insérer dans l'intégrale l'opérateur (-1)^F, qui distingue les particules de leurs superpartenaires.
L'action de Gibbons-Hawking pour ces solutions ne dépend pas de la température. Elle reproduit exactement l'indice supersymétrique de la corde noire extrémale avec les mêmes charges. Le ticket de caisse reste inchangé, quel que soit le temps mis pour l'achat.
Lorsqu'on s'approche de l'horizon des événements à température finie, la géométrie se simplifie en une construction familière : une sphère tridimensionnelle ($S^3$) se fibrait au-dessus de l'espace BTZ — un trou noir dans un univers anti-de Sitter tridimensionnel. Les paramètres de cette construction (paramètres modulaires) sont finis, et l'action redonne la formule de Cardy — un résultat célèbre reliant l'entropie du trou noir au nombre de microétats dans la théorie conforme bidimensionnelle duale.
Ainsi, la vitesse angulaire imaginaire devient un outil qui boucle la boucle entre la gravité et la théorie quantique des champs. Le grand livre comptable est équilibré.
L'indice supersymétrique ne change pas sous les déformations continues de la théorie ; on peut donc le calculer dans une limite commode — par exemple, le couplage faible — et transporter le résultat vers le couplage fort, où la gravité domine.