An integral is a mathematical object that generalizes the concept of area under a curve.L'intégrale définie ∫ₐᵇ f(x)dx donne un nombre — l'aire du trapèze curviligne délimité par le graphe de f(x), l'axe des x et les verticales x=a et x=b. Elle est définie comme la limite des sommes de Riemann : Σ f(ξᵢ)Δxᵢ lorsque la longueur maximale des segments de la subdivision tend vers zéro. L'intégrale indéfinie est une famille de primitives, c'est-à-dire des fonctions F telles que F'=f. Le lien est donné par la formule de Newton-Leibniz : ∫ₐᵇ f = F(b)−F(a).
Eudoxe (vers 370 av. J.-C.) et Archimède (287–212 av. J.-C.) utilisaient la méthode d'exhaustion, un analogue antique de l'intégration. Au XVIIe siècle, les travaux indépendants de Newton et Leibniz ont formalisé l'intégrale comme l'inverse de la différentielle. Riemann a donné en 1854 la première définition formelle, et au début du XXe siècle, Henri Lebesgue a construit l'intégrale basée sur la mesure, résolvant les problèmes fondamentaux de l'échange des limites et de l'intégrale.
Théorème fondamental du calcul : si f est continue sur [a,b] et F est une quelconque de ses primitives, alors ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b)−F(a). Le calcul se ramène à trouver une primitive. Techniques : changement de variable, intégration par parties (dérivée du produit), décomposition en fractions simples. Pour les fonctions intégrandes complexes, on utilise des méthodes numériques (trapèzes, Simpson) ou des transformées de Fourier/Laplace.
Calcul de la distance parcourue à partir du graphique de vitesse, de l'aire d'une figure complexe, prévision de la dose de radiation accumulée dans les matériaux — tout cela par l'intégrale.
Le signe intégral ∫ est une lettre stylisée ſ (s long), du latin summa, proposée par Leibniz. Contrairement à la dérivée, l'intégrale lisse la fonction : même une courbe très brisée peut avoir une fonction intégrale lisse.
| i | variable | inclination angle of the orbital plane — inclination angle radian |
| b | variable | minor axis of the projected orbit — minor axis metre |
| a | variable | major axis of the projected orbit — major axis metre |
| cos | opérateur | cosine function — cosine function |
| N | variable | Number of tiles needed — count |
| A | variable | Total area to cover — aire square metre |
| a | variable | Area of one tile — aire square metre |
| ⌈ ⌉ | opérateur | Rounds up to the nearest integer — ceiling function |
| T | variable | tunneling probability — transmission probability |
| z1 | variable | left turning point of the barrier — position metre |
| z2 | variable | right turning point of the barrier — position metre |
| m | variable | mass of the tunneling particle — masse kilogram |
| V | variable | potential energy as a function of position — énergie potentielle joule |
| E | variable | energy of the particle — énergie joule |
| ħ | constante | fundamental quantum of action divided by 2π — constante de Planck réduite = 1.054571817e-34 joule second |
| ∫ | opérateur | sums the integrand over the interval — intégrale |
| √ | opérateur | takes the non-negative root — racine carrée |
| exp | opérateur | raises e to the given power — exponential |
| T_{\mu\nu} | variable | stress-energy tensor — stress energy tensor joule per metre cubed |
| k^\mu | variable | null vector — null vector |
| t | variable | time coordinate — temps second |
| f(t) | variable | sampling function — sampling function |
| C | variable | dimensionless constant — dimensionless constant |
| t_0 | variable | characteristic timescale — temps second |
| \int_{-\infty}^{\inf | opérateur | integration over all time — intégrale |
| DM | variable | Dispersion measure — mesure de dispersion parsec per cubic centimetre |
| n_e | variable | Electron number density — densité électronique per cubic metre |
| l | variable | Path length along line of sight — longueur metre |
| ∫ | opérateur | Integration along the line of sight — intégrale |
| kappa | variable | weak lensing convergence — convergence |
| theta | variable | angular position on the sky — angular position radian |
| chi | variable | comoving distance to the source — comoving distance metre |
| chi' | variable | comoving distance along the line of sight — comoving distance metre |
| q | variable | lensing efficiency function — lensing efficiency |
| a | variable | scale factor — facteur d'échelle |
| f_K | variable | comoving angular diameter distance — comoving angular diameter distance metre |
| delta | variable | matter density contrast — contraste de densité |
| H_0 | constante | current expansion rate of the universe — constante de Hubble = 2.2e-18 per second |
| Omega_m | constante | ratio of matter density to critical density today — matter density parameter = 0.315 |
| c | constante | speed of light in vacuum — vitesse de la lumière = 299792458 metre per second |
| ∫ | opérateur | summation over infinitesimal elements — intégrale |