Des boules sur une scène courbée express
Dans une immense salle, des boules de billard sont éparpillées. Au début, elles sont clairsemées, chacune de son côté. Puis quelqu'un en ajoute d'autres — et soudain, les boules se compriment en îlots denses. C'est cela, la transition de phase — le moment où la matière change brusquement d'état.
Les physiciens décrivent depuis longtemps ce tableau avec le modèle des sphères dures : des particules identiques qui ne peuvent pas se chevaucher. Dans l'espace ordinaire, la transition d'un « gaz » dilué à un « liquide » dense est prédite, mais aucune preuve rigoureuse n'existe depuis un demi-siècle. Les auteurs de la nouvelle étude ont trouvé une voie détournée : ils ont transposé le modèle sur le plan hyperbolique — un espace courbé comme une selle.
Sur cette scène en forme de selle, les auteurs ont réussi pour la première fois à prouver rigoureusement que la transition de phase existe. À faible densité, les boules se déplacent librement ; à haute densité, elles se regroupent en amas compacts. L'appareil mathématique s'appuie sur des propriétés subtiles de la géométrie hyperbolique, où la probabilité de rencontre de deux boules varie différemment de celle du monde habituel.
Les physiciens disposent désormais d'un premier point d'appui rigoureusement établi. Peut-être la même approche aidera-t-elle à comprendre les transitions de phase dans d'autres milieux complexes — des verres aux matériaux granulaires. En attendant, on peut dire ceci : sur une scène au plancher en forme de selle, les boules de billard se comportent exactement comme dans le manuel.
Sur le plan hyperbolique, l'aire d'un cercle croît exponentiellement avec le rayon — plus vite que dans le plan ordinaire. On peut donc y placer beaucoup plus de boules non chevauchantes que dans notre monde.