A manifold is a mathematical space that locally resembles Euclidean space near each point.Une variété est un espace qui, à petite échelle, est indiscernable d'un espace euclidien ordinaire (avec des lignes droites et des angles), mais peut avoir une forme globale complexe. Plus précisément, une variété de dimension n est un espace où chaque point a un voisinage homéomorphe (c'est-à-dire qui peut être déformé continûment sans déchirures ni recollages) à un sous-ensemble ouvert de ℝⁿ. La locale euclidianité permet d'utiliser l'analyse mathématique en introduisant des structures lisses. Les variétés sont un objet central de la géométrie différentielle ; on peut les plonger dans des espaces de dimension supérieure, mais on les étudie souvent de manière intrinsèque — au moyen de cartes et de fonctions de transition, de même que le globe est recouvert de cartes planes.
L'idée de variété est née des travaux de Gauss sur la géométrie intrinsèque des surfaces et de la conférence de Riemann en 1854, où furent introduites les variétés de dimension n et le tenseur métrique. Henri Poincaré a développé la topologie des variétés et a formulé la conjecture de Poincaré pour les variétés de dimension trois. Plus tard, Élie Cartan et d'autres ont créé la théorie des fibrés et des connexions sur les variétés — nécessaire pour les théories de jauge modernes en physique.
Une variété lisse est dotée d'un atlas de cartes : chaque carte est un homéomorphisme d'un ouvert de la variété vers ℝⁿ, et la compatibilité est assurée par des fonctions de transition lisses. Les champs de vecteurs, les formes différentielles et les tenseurs sont définis via le fibré tangent. La courbure est décrite par le tenseur de Riemann, à partir de la métrique qui fixe les longueurs et les angles. L'intégration s'effectue au moyen de formes différentielles, et le théorème de Stokes relie les intégrales sur le bord et sur le volume. Les invariants — groupes d'homologie et de cohomologie — classent les variétés à équivalence topologique près.
La navigation GPS utilise des variétés pour modéliser la surface terrestre ; en relativité générale, l'espace-temps est une variété à quatre dimensions dont la courbure se manifeste comme la gravitation.
En marchant tout droit à la surface de la Terre, vous finirez par revenir au point de départ — c'est une propriété de la variété bidimensionnelle qu'est la sphère, dont la courbure globale est imperceptible sur de courtes distances.
| d | variable | Euclidean distance — distance metre |
| x₁ | variable | x-coordinate of point 1 — coordinate metre |
| x₀ | variable | x-coordinate of point 0 — coordinate metre |
| y₁ | variable | y-coordinate of point 1 — coordinate metre |
| y₀ | variable | y-coordinate of point 0 — coordinate metre |
| √ | opérateur | takes the square root of the sum — racine carrée |
