Ветвящаяся сеть — как речная дельта или крона дерева — строится по принципу экономии. Классический закон, выведенный ещё в 1926 году, утверждал: диаметр материнского сосуда в кубе равен сумме кубов диаметров дочерних. Это правило красиво работало для идеальных трубок, но реальные артерии упорно давали другой показатель — около 2.7 вместо 3.
Авторы новой работы нашли причину. В законе не учитывалась толщина стенок сосудов, а она растёт с радиусом нелинейно: стенка толще у крупных артерий. Добавив этот «налог на материал», учёные показали, что универсальный показатель ветвления исчезает — он становится разным для разных размеров. Закон Мюррея оказался не общим принципом, а частным случаем, когда стенки считаются бесконечно тонкими.
Новый расчёт дал диапазон показателя от 2.90 до 2.94 для симметричного ветвления — это уже ближе к реальным 2.7, но не полностью. Оставшееся расхождение, по мнению авторов, связано с пульсацией крови: ритмичные толчки сердца добавляют свои требования к геометрии сосудов. Кроме того, учёт толщины стенок объяснил, почему сосуды чаще делятся надвое, а не на три или четыре ветви: бинарное ветвление экономит материал при стерических ограничениях.
как её написали авторы, на английском arXiv:2603.13687
Murray's cubic branching law ($$\alpha=3$$) predicts a universal diameter scaling exponent for all hierarchical transport networks, yet arterial trees yield $$\alpha \sim 2.7-2.9$$. We show that this discrepancy has a structural origin: Murray's universality is an artifact of cost homogeneity, not a biological property. Incorporating the empirical vessel-wall thickness law $$h(r)=c_0 r^p$$ ($$p \approx 0.77$$) introduces a third metabolic cost term $$\propto r^{1+p}$$ that renders the cost function inhomogeneous with incommensurate scaling exponents. By Cauchy's functional equation, homogeneity is necessary and sufficient for a universal branching exponent to exist; its absence implies non-universality, and Murray's law is identified as a singular degeneracy of the cost-function family rather than a general principle. We prove that the resulting scale-dependent exponent satisfies the strict bounds $$(5+p)/2 < \alpha^*(Q) < 3$$ independently of flow asymmetry (Theorem 4, Corollary 5). The static wall-tissue mechanism bounds the symmetric bifurcation exponent to $$\alpha_t \in [2.90, 2.94]$$ from measured parameters, marking a first-order symmetry breaking from Murray's law that narrows the empirical gap by one-third. The remaining discrepancy with the cardiovascular mean ($$\alpha_{exp} \approx 2.70$$) is not a model failure but a mathematical necessity that signals the independent contribution of pulsatile wave dynamics. Additionally, the wall cost breaks Murray's topological degeneracy, bounding the optimal branching number to small finite integers; binary bifurcation emerges as the physiologically selected minimum under steric constraints.
Если бы стенки сосудов были бесконечно тонкими, все живые транспортные сети — от листьев до лёгких — имели бы одинаковый показатель ветвления. Но природа всегда платит за материал.