закон Архимеда

В 1934 году Жан Лере доказал, что у уравнений Навье–Стокса всегда есть решения «в обобщённом смысле». Остаётся ли решение гладким или может сорваться в сингулярность, он не узнал, и за девяносто лет не узнал никто. В 2000 году Институт Клэя включил вопрос в семь проблем тысячелетия.

Крыло самолёта, как лыжник на трамплине, помнит свой разгон. Резко изменил угол атаки — и подъёмная сила не сразу достигает нового значения. Она нарастает постепенно, будто крыло ещё не уверено, что манёвр всерьёз. Этот эффект открыл инженер Герберт Вагнер в 1925 году. Он описал рост подъёмной силы после мгновенного изменения угла атаки, но его формула осталась без явного выражения.

Капля масла в воде — как шарик в толпе. Пока толпа редкая, шарики свободно расходятся. Но если людей много, каждый зажат соседями, и вся масса ведёт себя как одно тело. Примерно так устроена эмульсия — смесь, где капли одной жидкости (например, масла) взвешены в другой (воде) или наоборот. Густая эмульсия напоминает крем или майонез: она держит форму, но при сильном нажатии начинает течь.

Купальный сезон открывается, когда вода кажется терпимой. Но у каждого свой порог: один дрожит при двадцати градусах, другой спокойно плавает при пятнадцати. Учёные решили разобраться, откуда берётся эта разница. Они сравнили тело пловца с домом, который пытается сохранить тепло, пока снаружи дует холодный ветер. Внутри горит печка — это мышцы, вырабатывающие тепло при движении.

Капля дождя падает на стекло и расплывается в блинчик. Добавьте в воду немного полимера — она станет упругой, как кисель. Казалось бы, такой кисель должен растекаться иначе. Но эксперименты с растворами полиэтиленоксида и полиакриламида показали: максимальный радиус пятна не меняется даже при концентрации 1000 ppm (одна тысячная доля).

Группа светящихся точек плывёт в темноте, то сжимаясь в островки, то расходясь волнами. Это не рыбы и не птицы — это математическая модель активной материи, где каждая частица тратит собственную энергию на движение, а заодно рождается, умирает и соперничает с соседями за пространство.

В мире, где числа Рейнольдса ничтожны, вода превращается в тягучий сироп, и привычные нам способы плавания перестают работать. Здесь господствует коварная теорема гребешка: симметричные движения не дают продвижения. Микроорганизмы нашли выход: они отращивают полимерные хвосты. Но что, если покрыть такими растущими нитями всю поверхность частицы — своего рода молекулярный «ковёр-самолёт»?

Поваренная соль — один из самых изученных продуктов в медицине. Десятилетиями студентов учили по модели Артура Гайтона: съел солёного — кровь разбавилась, объём временно вырос, почки тут же вывели лишнюю воду, и всё вернулось на круги своя. Стройная схема, похожая на работу поплавка в бачке унитаза.

Геометр проводит пальцем по невидимой поверхности — и по тому, как изгибаются геодезические, снимает её отпечаток. Таким отпечатком может служить максимальная нормальная кривизна κ(F): наибольшая из кривизн всех геодезических, проходящих через точку погружённого многообразия.

У каждой активной частицы в новой модели есть внутренний ритм: она вращается либо влево, либо вправо. Хиральность — ключевое свойство: одни кружатся по часовой стрелке, другие — против. Но стоит такой частице столкнуться с препятствием или соседкой, как она переключает своё вращение, словно фигурист, который после касания борта взрывается обратным пируэтом.

В водной среде на механическую рыбу воздействуют турбулентные вихри, сбивающие её с курса. Чтобы справиться с этой задачей, был создан ИИ-агент, действующий подобно повару-экспериментатору: он запускал множество симуляций, пробуя различные «рецепты» двигательных паттернов, и итеративно улучшал управляющую программу.

Представьте две несмешивающиеся жидкости, например масло и воду. В обычных условиях они стремятся к разделению, образуя четкую границу раздела. Но введите в систему микроскопических пловцов — бактерий, основу которых составляет углерод, — и картина резко меняется.

В сердце активной галактики, где межзвёздный газ закручивается в ослепительный аккреционный диск вокруг сверхмассивной чёрной дыры, рождается граница, сквозь которую не может пробиться даже звук. Этот акустический горизонт долго считали застывшей рябью на воде.

Корабль, скользящий по воде, постоянно трётся о неё, как ладонь о шершавую поверхность. Это трение съедает топливо и замедляет ход. Один из способов уменьшить его — пустить под днище воздух: вода перестаёт прилипать к корпусу, и сопротивление падает. Но воздух ведёт себя капризно: иногда помогает, а иногда мешает.

Пластиковое сердечко лежит на воде и не переворачивается, как его ни поверни. Оно замирает в любом положении, будто вода держит его за невидимые нити. Такой фокус возможен благодаря кривой Зиндлера — фигуре, у которой все линии, делящие площадь пополам, имеют одинаковую длину. Кривая Зиндлера — это замкнутая кривая, у которой любая хорда, делящая площадь пополам, имеет одну и ту же длину.

Вода — единственная распространённая жидкость, которая при остывании не сразу сжимается. Лёд тает, и вода становится плотнее, но только до 4 градусов Цельсия. Дальше, при дальнейшем охлаждении, она снова расширяется. Этот каприз объясняет, почему рыбы выживают в замерзающих прудах: самая плотная вода опускается на дно, а сверху остаётся более лёгкий холодный слой, который превращается в лёд.

Вода в глубоких недрах Земли сжата сильнее, чем в тысячу раз по сравнению с поверхностью. Даже там она продолжает течь, но её внутреннее устройство меняется. Исследователи измерили, как именно вода сопротивляется течению и сжатию, когда давление растёт от нуля до 1,6 гигапаскаля — это как если бы на каждый квадратный сантиметр поставили груз массой 16 тонн.

Ветвящаяся сеть — как речная дельта или крона дерева — строится по принципу экономии. Классический закон, выведенный ещё в 1926 году, утверждал: диаметр материнского сосуда в кубе равен сумме кубов диаметров дочерних. Это правило красиво работало для идеальных трубок, но реальные артерии упорно давали другой показатель — около 2.7 вместо 3. Авторы новой работы нашли причину.

Клетки на поверхности зародыша похожи на зёрна риса, которые могут выстраиваться в одном направлении. Такой порядок называют нематическим. Он возникает, когда клетки начинают действовать согласованно, как косяк рыб, плывущий в одну сторону. Учёные смоделировали этот процесс на примере сферической оболочки — как будто надувной шарик, покрытый множеством таких «зёрен».

Слой клеток, выстилающий внутренние органы, похож на очередь в переполненном метро: все стоят вплотную, но иногда толпа начинает течь, и люди проскальзывают мимо друг друга. Биологи называют такое поведение переходом от застрявшего, твёрдого состояния к текучему. До сих пор считалось, что ключ к этому — форма клеток: если клетки становятся более вытянутыми, ткань разжижается.

Лимфатическая система — как городская сеть каналов, по которой медленно движется вода, унося мусор из тканей. Но у неё нет единого насоса-сердца. Вместо этого по длине сосудов расставлены маленькие станции-шлюзы — лимфангионы. Каждый такой шлюз сжимается сам, как кулак, и проталкивает жидкость дальше. Как они согласуют свою работу, долго оставалось загадкой.

Зимой озеро затягивается льдом — и этот простой процесс оказывается живой моделью расширяющейся Вселенной. Толщина льда нарастает по тому же математическому закону, что и расстояния между далёкими галактиками. Секрет — в движении воды под ледяной коркой. Вода у поверхности, охлаждаясь, становится плотнее и опускается, а более тёплые слои снизу поднимаются вверх.

Глубоко под нами, на глубине сотен километров, есть слой, который умеет впитывать воду, как губка. Минералы там — вадслеит и рингвудит — могут удерживать внутри своей кристаллической решётки до 1–2% воды по весу. Это значит, что в переходной зоне мантии (между 410 и 660 км) потенциально спрятано больше воды, чем во всех океанах на поверхности.

Жидкий гелий, охлаждённый почти до абсолютного нуля, ведёт себя как две жидкости сразу: обычная вязкая часть и сверхтекучая, которая течёт без трения. Когда такой поток наталкивается на цилиндр, позади него рождаются вихри. Но иногда вихри появляются и перед цилиндром — там, где по классическим законам их быть не должно.

Капля падает в стакан, и от поверхности отрывается крошечная струйка — тонкий фонтанчик, который на миг взлетает вверх. Примерно так же работает пузырёк, прилипший к стенке трубки, если трубку резко дёрнуть вниз. Вода вокруг пузырька устремляется внутрь, и из его верхушки выстреливает струя. Скорость этой струи зависит от формы пузырька — насколько он выгнут, как купол зонтика.

Камень падает в пруд — по воде расходятся круги. Короткие волны бегут быстрее длинных? Нет, на глубокой воде всё наоборот: длинные обгоняют короткие. В металле звук одной высоты летит с одной скоростью, другой — с другой. Как во всём этом разобраться? Физики сводят поведение волн к одному графику: по одной оси — частота колебаний, по другой — длина волны.

Лист бумаги, выпущенный из окна, порхает, кувыркается, иногда на секунду замирает плашмя. До сих пор, чтобы честно предсказать такое, приходилось гонять на суперкомпьютерах миллионы уравнений для каждой капли воздуха. Это всё равно что для подсчёта сдачи в магазине моделировать каждый атом кассы. Новый подход поступает хитрее.

Встряхните банку с песком и шариками — и увидите, как крупные предметы всплывают или тонут в зависимости от размера. Но если встряхивать умно, можно заставить шарики собираться в пары и цепочки, словно они приклеены друг к другу. Именно такой «невидимый клей» впервые поймали и измерили физики из Индии и Германии.

Вода в стакане успокаивается, если перестать её мешать. Масло в двигателе гасит вибрации. Кажется, вязкость — это всегда про затухание. Но в некоторых потоках всё наоборот: добавь трения — и волны начинают расти, как будто из ниоткуда. Физики нашли простое объяснение. У таких систем есть скрытый запас энергии, запертый особой симметрией — она называется PT-симметрией.

Вода в луже после дождя кружится не так, как в глубоком озере. Тонкий слой жидкости чувствует дно, и это меняет характер вихрей. Учёные создали такой слой в лаборатории: налили электролит, пропустили ток и магнитное поле, и жидкость пришла в движение. Затем с помощью камер и мелких частиц они отследили движение вплоть до самых маленьких вихрей, размером с долю миллиметра.

Тонкая струйка воды течёт по холодной наклонной доске и на глазах превращается в ледяную гряду. Сначала вода прокладывает себе прямую ледяную дорожку — как будто сама укрепляет берега. Потом ручеёк начинает вилять, лёд быстро расползается в стороны. Наконец, гряда перестаёт расти вширь и начинает толстеть, сглаживая неровности. Лёд растёт там, где вода задерживается дольше.

Фундаментальный принцип, открытый Вольфгангом Паули, — принцип запрета Паули — гласит: никакие два фермиона (частицы с полуцелым спином) не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии.