Горсть спичек падает на стол. Каждая легла как попало, но мысленно превратим её в стрелку — от одного конца к другому. Теперь зададим вопрос: можно ли пройти от одной точки к другой, двигаясь только по направлению стрелок? Группа точек, где из любой можно добраться до любой, называется сильно связанным кластером. Авторы работы просчитали, как такие кластеры возникают в решётках разной размерности — от плоской сетки до семимерного куба.
Оказалось, что пока размерность меньше шести, форма кластеров замысловата. Их внутренняя «изрезанность» (фрактальная размерность) отличается от размерности самого пространства. Это как если бы клубок ниток в трёхмерной комнате имел собственную меру запутанности, не равную трём. Но начиная с шести измерений всё упрощается: кластеры становятся «гладкими», подчиняясь тем же законам, что и в сети, где каждая точка соединена с каждой. Однако в такой полносвязной сети обнаружился сюрприз. Большие кластеры растут по одному сценарию, а маленькие — по иному, словно в толпе сначала сбиваются микрогруппы, а уже потом они сливаются в гигантское шествие.
Эти результаты показывают: даже в многомерном мире, где интуиция пасует, сильно связанные кластеры остаются чёткими фрактальными объектами. А переход к простому поведению при высоких размерностях сопровождается неожиданными перестройками в статистике размеров. Будто при увеличении размеров комнаты меняется не только форма клубка, но и сама манера ниток спутываться.
В полносвязной сети (где каждый соединён с каждым) маленькие сильно связанные кластеры ведут себя так, будто живут в собственном мире с другими правилами: их распределение по размерам следует степенному закону с показателем 1, а не 4, как у крупных.
В романе Станислава Лема «Глас Господа» математики исследуют случайный сигнал, пытаясь выделить в нём осмысленные структуры — подобно тому, как здесь в случайно ориентированной сети ищут островки направленной связности.