фрактальная размерность

Ночное небо кажется случайной россыпью звёзд. Но если разглядеть его на огромных расстояниях, хаос исчезает. Галактики собираются в длинные нити и плоские стены, а между ними зияют исполинские пустоты — космические войды. Эту конструкцию называют космической паутиной. Чтобы описать такую сложную систему, недостаточно просто посмотреть на картинку.

Притушите свет. На сцену выходит театр теней, где всего r кукловодов — но ширма живёт по законам гиперболической геометрии. Каждый взмах руки рождает узор, который математики называют дискретной группой изометрий.

Горсть спичек падает на стол. Каждая легла как попало, но мысленно превратим её в стрелку — от одного конца к другому. Теперь зададим вопрос: можно ли пройти от одной точки к другой, двигаясь только по направлению стрелок? Группа точек, где из любой можно добраться до любой, называется сильно связанным кластером.

Город, где улицы не прямые, а извилистые, с тупиками и скрытыми проходами. Курьер на велосипеде потратит гораздо больше времени, чтобы доставить посылку, чем в городе с ровной сеткой дорог. Так и молекулы внутри живой ткани: их путь зависит от того, насколько «запутана» структура ткани. Учёные построили модель, которая описывает движение молекул в такой «запутанной» среде.

Обычный рентгеновский флуоресцентный анализ работает как дотошный переписчик: чтобы узнать состав картины, он обходит каждый квадратный сантиметр и заносит в журнал, есть ли там свинец или медь. Для плоского листа это терпимо, но для объемного предмета — пытка. Томография требует повторять обход под множеством углов, и число измерений растет как снежный ком.

На поверхности тонкой плёнки из оксида висмута-железа видны ровные полоски — как бороздки на вспаханном поле. Что творится под ними, до сих пор оставалось загадкой. Новый прибор под названием DREDI просвечивает материал электронами и за доли секунды строит карту электрических полей на разной глубине с точностью до десяти нанометров — это в тысячу раз тоньше человеческого волоса.

Мочевой пузырь похож на воздушный шарик: пока он наполняется, стенка растягивается, и форма меняется. Врачи обычно следят за давлением внутри и за тем, сколько жидкости вошло, но почти не смотрят на саму геометрию — как именно изгибается поверхность. А ведь неровности могут появиться ещё до того, как испортятся привычные показатели.

Если высыпать на пол горсть разноцветных бусин, они лягут по-разному: одни соберутся в кучки, другие разлетятся по углам. Примерно так же разбросаны по Вселенной галактики разных цветов — голубые, зелёные и красные. Учёные решили измерить, насколько «кучковато» они распределены, с помощью числа, которое называется фрактальной размерностью.

В тёмных облаках межзвёздного газа, где рождаются звёзды, вещество собирается в плотные узлы — будущие колыбели светил. Астрономы измеряют расстояния между этими узлами по фотографиям неба, но фотография плоская, а облако объёмное. Пересчёт с плоскости в объём — задача не такая простая, как кажется.