Квантовая цепочка спинов похожа на нитку бус, где каждая бусина — микроскопический магнит, указывающий вверх или вниз. В модели XXZ эти магнитики взаимодействуют по-разному вдоль трёх осей, и при особых значениях параметра — корнях из единицы — у системы просыпается скрытая память.
Обычно симметрии в таких цепочках задаются набором величин, которые можно перемножать в любом порядке — как числа. Здесь же нашлись дополнительные сохраняющиеся заряды, не перестановочные друг с другом. Их алгебра оказалась не обычной коммутативной, а квадратичной: результат произведения двух зарядов выражается через сумму парных произведений. Эта структура известна как алгебра Онсагера — математический объект, впервые появившийся в задаче об упорядочении в плоском магнетике.
Авторы построили явные представления генераторов этой алгебры в виде матричных произведений — своего рода молекулярных штампов, отпечатывающих состояние цепочки. Более того, они нашли линию дуального дефекта — особый шов, при переходе через который свойства системы зеркально меняются. Этот дефект подчиняется правилам слияния Тамбары–Ямагами: два дефекта определённого типа при столкновении дают смесь других, как химические элементы в реакции.
Такой дефект оказался решёточным воплощением топологических линий из теории конформного поля — математического описания квантовых струн. Связь между алгеброй Онсагера и дуальностями в цепочках означает, что глубокие симметрии могут возникать из микроскопических правил взаимодействия, а не навязываться извне. Невидимая решётка симметрии, скрытая в переплетении спинов, теперь получила точный математический адрес.
Алгебра Онсагера была открыта в 1944 году Ларсом Онсагером при точном решении двумерной модели Изинга — одной из первых задач, где удалось аналитически описать фазовый переход.
В романе «Анафем» Нила Стивенсона квантовые состояния используются для параллельных вычислений в мультиверсе — подобные скрытые симметрии могли бы служить ключами к разным ветвям реальности.