Каждый год, ближе к декабрю, вода у берегов Перу становится аномально тёплой или аномально холодной. Это Эль-Ниньо и Ла-Нинья, две фазы одного климатического маятника, который качается в экваториальной части Тихого океана. Маятник не простой: он помнит, что было с ним несколько месяцев назад, и эта память определяет, куда он качнётся дальше.
В 1980-х климатологи предложили описывать этот маятник уравнением с запаздыванием: скорость изменения температуры воды зависит не только от текущего состояния, но и от того, что происходило раньше. Запаздывание возникает потому, что волны в океане идут от одного берега до другого не мгновенно, а за несколько месяцев. Физики Суарес и Шопф упростили модель до одного уравнения, которое легко решать на компьютере и анализировать вручную.
В новой работе математики добавили в уравнение Суареса–Шопфа внешнее периодическое воздействие, имитирующее смену времён года. Они построили полную карту того, как меняется поведение системы при разных значениях запаздывания и амплитуды воздействия. Оказалось, что области, где маятник синхронизируется с сезоном, очень узкие и почти не пересекаются. Это объясняет, почему реальное Эль-Ниньо не повторяется строго каждый год, хотя и тяготеет к декабрьскому пику.
Чтобы разобраться в деталях, авторы разработали метод вычисления числа вращения для систем с запаздыванием. Число вращения показывает, сколько оборотов делает траектория на торе за один период внешнего воздействия. Если это число рациональное, динамика периодическая, если иррациональное — траектория плотно заполняет поверхность. Для расчётов потребовалось около 768 000 запусков модели, что заняло примерно 8 часов на обычном компьютере.
Результат оказался важным для понимания климата: модель Суареса–Шопфа с сезонным воздействием не воспроизводит хаотическую нерегулярность, которую видят в наблюдениях. Значит, для реалистичного прогноза нужно учитывать дополнительные факторы, например асимметрию между тёплой и холодной фазами или случайные возмущения. Но сам метод вычисления числа вращения пригодится в самых разных областях — от физики лазеров до биологических ритмов.
Число вращения на инвариантном торе может быть рациональным (тогда динамика периодическая) или иррациональным (тогда траектория плотно заполняет тор). В данной работе для вычисления числа вращения потребовалось около 768 000 расчётов, занявших примерно 8 часов на компьютере Apple M1.