Квантовая гравитация похожа на бухгалтерию: каждая возможная траектория — это запись в гроссбухе, и чтобы подвести итог, нужно просуммировать их все. Но как быть с черной дырой, которая не стоит на месте, а вращается — да еще и в мнимом времени?
Авторы нашли особые «седловые точки» — конфигурации полей, дающие главный вклад в сумму по историям. Эти точки описывают черную струну в десяти измерениях с тремя типами зарядов (их можно представить как монопольные заряды Q1, Q5 и Qn) и моментом вращения JL. Фокус в том, что угловая скорость ΩR чисто мнимая и жестко связана с обратной температурой β: ΩR = -2πi/β. Это не трюк, а способ вставить в интеграл оператор (-1)^F, который различает частицы и их суперпартнеров.
Действие Гиббонса-Хокинга для таких решений не зависит от температуры. Оно в точности воспроизводит суперсимметричный индекс экстремальной черной струны с теми же зарядами. Кассовый чек остается неизменным, сколько бы времени ни заняла покупка.
Когда мы приближаемся к горизонту событий при конечной температуре, геометрия упрощается до знакомой конструкции: трехмерная сфера ($S^3$) расслаивается над пространством BTZ — черной дырой в трехмерной анти-деситтеровской вселенной. Параметры этой конструкции (модулярные параметры) конечны, а действие снова дает формулу Карди — знаменитый результат, связывающий энтропию черной дыры с числом микросостояний в дуальной двумерной конформной теории поля.
Так мнимая угловая скорость превращается в инструмент, замыкающий кольцо между гравитацией и квантовой теорией поля. Бухгалтерская книга сходится.
Суперсимметричный индекс не меняется при непрерывных деформациях теории, поэтому его можно вычислять в удобном пределе — например, слабой связи, — а результат переносить на сильную связь, где доминирует гравитация.