Два города с одинаковой средней плотностью населения. В одном — аккуратная сетка кварталов, в другом — лабиринт узких улочек и неожиданных площадей. На глобальной карте они выглядят близнецами, но жизнь внутри течёт совершенно по-разному. Примерно так же устроены две центральные конфигурации (критические точки variety в пространстве форм) из 5000 частиц равной массы, исследованные в новой работе. Их глобальная мера кластеризации — variety — отличается всего на 1,686%: 0,5857 и 0,5956. Эта величина, введённая в подходе Барбура, Кословского и Меркати, служит индикатором гравитационной стрелы времени в ньютоновской задаче N тел с нулевой энергией, импульсом и угловым моментом. Она растёт в обе стороны от точки Януса — момента минимального размера системы. Но полнота такого описания оставалась под вопросом.

Чтобы заглянуть внутрь «городов», авторы ввели масштабно-инвариантную меру — анизотропию шести ближайших соседей A6. Для каждой частицы строился тензор вторых моментов смещений соседей, и A6 определялась как отношение разности к сумме его собственных значений: 0 для изотропного окружения (как точки на равномерной сетке), 1 для коллинеарного (как бусины на нитке). Средняя A6 для конфигурации с меньшей variety составила 0,1331 — почти изотропный фон. А для конфигурации с большей variety — 0,3419, разница в 156,8%. Медианы различались ещё сильнее: 0,1133 против 0,3226.

В первой конфигурации ни одна частица не имела A6 выше 0,5 — всё как в городе с плавными переходами. Во второй таких оказалось 18,1% — целые кварталы вытянутых структур. Распределения вероятности A6 имеют расстояние Колмогорова–Смирнова 0,557, что подтверждает их сильное различие. Высокие значения A6 концентрируются вдоль филаментов и изогнутых дуг — словно узкие улочки, пронизывающие второй город. Знак различия сохранялся для всех протестированных размеров окрестности (k от 4 до 12), хотя величина разницы варьировалась от 8,8% до 161,8%. Тест на устойчивость к очень близким парам (замена компонент связности на центроиды) снизил среднюю A6 до 0,3169, но разница с первой конфигурацией осталась на уровне 138,1%.

Результат показывает, что глобальная скалярная величина variety не определяет однозначно локальную геометрическую организацию системы. Два «города» с почти одинаковой средней плотностью могут быть устроены принципиально по-разному: один — равномерная россыпь, другой — лабиринт филаментов. Это не умаляет роли variety как индикатора стрелы, но указывает на необходимость дополнительных, локальных реляционных наблюдаемых для более полного описания структурной эволюции. Гравитационная стрела может быть многомерным явлением, где глобальная кластеризация — лишь первый уровень иерархии дескрипторов.

Так мы возвращаемся к образу двух городов. На карте они почти неразличимы, но внутри один — спокойное предместье, а другой — клубок напряжённых магистралей. Чтобы понять их судьбу, недостаточно знать среднюю плотность — нужно видеть геометрию улиц.