Категория — это математическая структура, состоящая из объектов и морфизмов, которые их связывают.Формально категория задаётся классом объектов и для каждой пары объектов множеством морфизмов (стрелок, обозначающих допустимые преобразования) с операцией композиции. Композиция ассоциативна: если применить стрелки f, затем g, затем h, то неважно, сгруппировать ли их как h после (g после f) или как (h после g) после f. Для каждого объекта есть тождественная стрелка, которая оставляет его без изменений. Суть теории в том, чтобы игнорировать внутреннее устройство объектов и сосредоточиться на связях между ними, что даёт универсальный язык для построения таких конструкций, как произведение объектов (способ скомбинировать два объекта) или копредел (способ объединить информацию от нескольких объектов).
Категории возникли в работах Самуэля Эйленберга и Сондерса Маклейна (1942–1945) по аксиоматизации естественных преобразований в алгебраической топологии. В 1950–60-х Александр Гротендик перестроил алгебраическую геометрию на категорном языке и ввёл понятие топоса. Уильям Ловер развил категорную логику. С 1980-х категории активно применяются в компьютерных науках (например, монады в функциональном программировании). В XXI веке появились приложения в квантовой физике (категорная квантовая механика) и теории типов.
Работа основана на аксиомах композиции и универсальных свойствах. Например, произведение объектов A и B в категории определяется не построением, а свойством: это объект P с парой проекций p₁: P→A, p₂: P→B, такой, что для любого объекта X с морфизмами f: X→A и g: X→B сущестует единственный морфизм h: X→P, делающий диаграмму коммутативной. Это позволяет доказывать теоремы, не обращаясь к элементам объектов. Принцип двойственности (обращение всех стрелок) удваивает количество доказываемых утверждений.
Такой подход облегчает перенос идей между разными разделами математики. В информатике категории применяют для строгой проверки типов программ, а в физике — для моделирования квантовых вычислений.
Теорию категорий иногда в шутку называют «абстрактной чепухой» (abstract nonsense), подчёркивая её предельную общность, которая тем не менее обеспечила строгий фундамент для многих областей математики.
| w_1 | переменная | вес для a — вес |
| a | переменная | первое значение |
| w_2 | переменная | вес для b — вес |
| b | переменная | второе значение |
| X | переменная | первая случайная величина — случайная величина |
| Y | переменная | вторая случайная величина — случайная величина |
| Var(X) | переменная | дисперсия X — дисперсия |
| Var(Y) | переменная | дисперсия Y — дисперсия |
| Var(X+Y) | переменная | дисперсия суммы X+Y — дисперсия |
| U | переменная | открытое множество (топологическое пространство) — topological space |
| r | переменная | число независимых множителей Z/2Z — rank |
| X | переменная | множество — set |
| κ | переменная | кардинальное число — cardinal number |
| |X| | оператор | мощность множества X — cardinality |
| cf(κ) | оператор | кофинальность кардинала κ — cofinality |
