Два крошечных магнита сидят в куске металла. Вокруг них — море электронов проводимости. Обычно электроны стараются «прикрыть» магнетизм примесей: выстраиваются вокруг и гасят его. Это явление называют эффектом Кондо. Но в этой работе физики сделали необычный ход: они позволили электронам взаимодействовать с примесями по-разному в зависимости от направления. Такая асимметрия описывается неэрмитовой квантовой механикой, где привычные законы сохранения могут нарушаться.

Авторы рассмотрели пару спиновых примесей (каждая — как половинка элементарного магнита), связанных с $n$ каналами электронов. Ключевой параметр — безразмерная неэрмитовость $α$, которая показывает, насколько сильно нарушена симметрия. Когда $α$ растёт, система проходит через четыре фазы. Сначала — переэкранированный кондо-режим: электроны слишком активно пытаются погасить примеси, и образуется сложное коллективное состояние. Затем — режим нулевой моды: в спектре возникают особые возбуждения с нулевой энергией, похожие на неподвижные струны. Далее — фаза Ю — Шибы — Русинова, где спонтанно нарушается $\mathscr{PT}$-симметрия (комбинация пространственной и временной инверсии). И наконец — режим локального момента, где примеси ведут себя как свободные магниты, а поток ренормгруппы становится циклическим.

С помощью точного решения (анзац Бете) физики вычислили примесную свободную энергию и $g$-функцию Аффлека — Людвига — меру энтропии, связанной с примесью. В кондо-фазе энтропия течёт от $2\ln2$ к $2\ln[2\cos(π/(n+2))]$, что согласуется с предсказаниями конформной теории поля. Но в других фазах энтропия ведёт себя немонотонно. Это ставит под вопрос знаменитую $g$-теорему — утверждение о необратимости ренормгрупповых потоков в присутствии дефектов. Оказывается, реальный спектр и согласие с конформной теорией ещё не гарантируют необратимости.