Обычно мы считаем, что координаты точки — это просто числа: сначала x, потом y, и неважно, в каком порядке их перемножать. Но в некоторых теориях на очень малых масштабах, где само понятие точки размывается, координаты превращаются в матрицы. Тогда их произведение зависит от порядка: x·y не равно y·x. Это называется некоммутативностью. Раньше было неясно, можно ли вообще заметить такую структуру, если одиночные частицы ведут себя как обычно. Оказалось, что можно — если посмотреть на две частицы сразу.
Авторы рассмотрели источник, который испускает две частицы по очереди. Каждая летит к своему наблюдателю — Алисе и Бобу. Когда частицы обмениваются местами, в их общем состоянии появляется дополнительный поворот, фаза, зависящая от их импульсов. Эта фаза и есть след некоммутативности. Если импульсы выбраны правильно — их разности не параллельны — фаза отлична от нуля. Тогда Алиса и Боб, проводя измерения, получают корреляции, которые нарушают неравенство Белла. Это значит, что частицы запутаны, и классическое объяснение невозможно. Величина нарушения прямо зависит от параметра некоммутативности.
Раньше считалось, что некоммутативная геометрия — чистая абстракция, которую нельзя проверить. Теперь видно, что она оставляет след в статистике измерений. Правда, технически такой эксперимент пока неосуществим, но сам критерий уже существует. Если когда-нибудь удастся его провести, он покажет, действительно ли пространство на самом глубоком уровне скручено.
Если разности импульсов у Алисы и Боба параллельны, фаза χ_θ обращается в нуль — и некоммутативность невозможно увидеть, как бы велика она ни была. Нужна именно двумерная геометрия импульсных мод.