Два наблюдателя, Алиса и Боб, сидят в разных концах одной лаборатории. Между ними — источник, который по очереди выстреливает два импульса. Каждый импульс рождает волновой пакет, летящий к своему детектору. Пока всё выглядит как обычный эксперимент с квантовыми частицами. Но если пространство-время на самом деле некоммутативно — то есть координаты в нём не перемножаются в любом порядке, как матрицы, — то в тот момент, когда частицы меняются местами, в их волновую функцию вкрадывается дополнительный поворот, фаза, зависящая от их импульсов. Эта фаза и есть след скрученной геометрии.
Авторы статьи нашли способ сделать эту фазу видимой. Они рассмотрели источник, который взаимодействует с "одетым" полем — то есть с полем, уже содержащим операторную добавку от полного импульса. Тогда в секторе с двумя частицами возникает фаза, пропорциональная ориентированной площади параллелограмма, натянутого на разности импульсов двух мод у Алисы и Боба. Если эти разности не параллельны, фаза отлична от нуля. После того как Алиса и Боб проецируют свои частицы на определённые состояния, они получают пару кубитов с контролируемой фазой.
Дальше вступает стандартный инструмент — неравенство Белла в форме CHSH. Алиса и Боб проводят локальные измерения в базисах, повёрнутых относительно своих мод. Если корреляции между их результатами превышают классическую границу 2, значит, состояние запутано и локальный реализм нарушен. Для приготовленного состояния максимальное значение параметра CHSH равно 2√(1 + sin²(χ_θ/2)), где χ_θ — та самая фаза. При χ_θ = π получается максимально запутанное состояние и предел Цирельсона 2√2. Для слабой некоммутативности запутанность растёт линейно по параметру деформации, а превышение над классической границей — квадратично.
Результат означает, что некоммутативная геометрия не обязана оставаться ненаблюдаемой: она проявляется в статистике измерений как нарушение локального реализма. Это связывает фундаментальные вопросы квантовой гравитации с экспериментально развитой техникой проверки неравенств Белла. Раньше было неясно, можно ли вообще операционально зарегистрировать некоммутативность, если свободное поле и одночастичные состояния не меняются. Теперь видно, что скрученная статистика многочастичных состояний порождает запутанность, и это нарушение прямо зависит от параметра некоммутативности. Правда, техническая реализация предложенного мысленного эксперимента пока далека от современных возможностей — но сам критерий уже существует.
Колокол некоммутативности зазвучал: каждый обмен частицами добавляет вращение, и только в паре эти вращения складываются в видимый узор. Если когда-нибудь удастся поставить такой опыт, он покажет, действительно ли пространство-время на самом глубоком уровне скручено, или же это лишь математическая абстракция.
Если разности импульсов у Алисы и Боба параллельны, фаза χ_θ обращается в нуль — и некоммутативность невозможно увидеть, как бы велика она ни была. Нужна именно двумерная геометрия импульсных мод.