Камень падает в пруд. Круги разбегаются, становятся слабее и вскоре исчезают. Но если бы пруд был бесконечным, а вода идеальной, волнение длилось бы вечно, постепенно угасая. В физике такие затухающие остатки называют «хвостами» — они живут долго после того, как основная волна ушла.

Трудность в том, что хвост затухает с разной скоростью: медленнее для того, кто смотрит издалека, и быстрее для того, кто сидит у места падения. На обычной числовой сетке этот перепад становится всё резче, и компьютер начинает ошибаться. Авторы работы обошли проблему, перекроив саму систему отсчёта — как если бы бесконечную линейку свернули в кольцо. Они использовали координаты, которые сами приспосабливаются к угасанию волны: чем дальше во времени, тем сильнее сжатие, и профиль хвоста остаётся гладким.

Метод проверили на уравнениях, похожих на те, что описывают гравитационные волны. Оказалось, что в редких случаях хвост на бесконечности может исчезать быстрее обычного — словно главный голос в хоре внезапно замолкает, и остаётся только тихое эхо. Такое поведение предсказывали и раньше, но теперь его впервые надёжно воспроизвели в численном эксперименте.