В горном массиве есть тропы, которые можно сжать в точку, если идти по ровной долине. А есть кольцевые маршруты, которые невозможно стянуть, не перевалив через хребет. Физики, изучающие квантовые фазы, обнаружили, что их фазовая диаграмма устроена так же: в ней есть замкнутые пути, которые нельзя стянуть в точку, не пересекая область, где энергетическая щель исчезает.

Такие пути называют нестягиваемыми петлями. Они показывают, что между двумя фазами нельзя пройти гладко, не наткнувшись на критическую точку. Раньше эти петли изучали по отдельности: когда симметрия сохраняется или когда она полностью нарушена. Но в реальных системах симметрии взаимодействуют, и одна может быть нарушена, а другая нет.

Авторы использовали метод дуальности, который связывает фазовые диаграммы двух систем, как зеркало меняет местами левое и правое. Например, дуальность Крамерса-Ванье обменивает доменные стенки и заряды. Это позволило перенести классификацию петель с одной стороны на другую и построить явные унитарные эволюции, которые порождают нестягиваемые петли.

Результаты оказались неожиданными. Для систем с аномальной симметрией Z₂×Z₂ петли классифицируются группой Z₄, потому что доменная стенка одной симметрии несёт половину заряда другой. Для диэдральных групп D₂ₙ классификация зависит от чётности n: при нечётном n она равна D₂ₙ, а при чётном — D₈ или Z₂×Z₂. Для необратимых симметрий классификация петель зависит от того, является ли базовая точка тривиальной, что контрастирует с обычными фазами.

Эти результаты дают инструмент для поиска неизбежных бесщелевых точек в квантовых системах. Если в фазовой диаграмме есть нестягиваемая петля, то где-то на ней обязательно есть точка, где щель закрывается. Это как знать, что на кольцевом маршруте обязательно встретится перевал, даже если не видишь его с начала пути. Работа углубляет понимание топологической структуры фазовых диаграмм и открывает путь к классификации фаз с экзотическими симметриями.