Представьте горный ландшафт: долины — это разные состояния вещества, а хребты — переходы между ними. Некоторые кольцевые маршруты можно сжать в точку, если идти по ровной долине. Но есть маршруты, которые невозможно стянуть, не перевалив через хребет. Такие маршруты в физике называют нестягиваемыми петлями. Они показывают, что между двумя состояниями нельзя пройти гладко, не наткнувшись на точку, где энергетическая щель исчезает.

Раньше учёные изучали эти петли только в простых случаях: когда симметрия системы полностью сохраняется или полностью нарушается. Но в реальности симметрии могут взаимодействовать: одна нарушена, другая нет. Это как если бы в горах одновременно действовали два разных правила для троп. Новая работа показала, что такое взаимодействие создаёт более сложные петли, которые раньше не замечали.

Результаты оказались неожиданными. Например, для систем с аномальной симметрией Z₂×Z₂ петли классифицируются группой Z₄, потому что доменная стенка одной симметрии несёт половину заряда другой. Для других симметрий классификация зависит от чётности числа n. Благодаря этому теперь можно заранее знать, где в квантовой системе обязательно появится критическая точка, даже если параметров бесконечно много, а настроить нужно всего два.