العازل العادي لا يوصل التيار لا من الداخل ولا على الحواف. أما العازل الطوبولوجي فقصته مختلفة: يبقى عازلًا من الداخل، لكنه يمرر تيارًا كهربائيًا على الحواف دون فقدان. هذه الخاصية محمية بالطوبولوجيا، وهي خاصية رياضية لا تتغير تحت التشوهات السلسة. حتى وقت قريب، كانت هذه الحالات الحافية تُدرس في بلورات ساكنة. لكن ماذا لو هززنا البلورة دوريًا في الزمن؟ تُسمى هذه الأنظمة أنظمة فلوكيه، وهي قادرة على توليد أطوار طوبولوجية لا وجود لها في الأنظمة الثابتة.

أخذ فيزيائيون من جامعة المحيطات الصينية نموذج عازل موبيوس المُنفَّذ تجريبيًا، وهو شبكة ثنائية الأبعاد بفيض مغناطيسي π عبر كل خلية، وأضافوا تبديلًا دوريًا للمعلمات (ما يُسمى بالكويشات). في النصف الأول من الدورة، تُفعَّل الوصلة داخل الخلية، وفي النصف الثاني تُفعَّل الوصلة بين الخلايا. هذا البروتوكول مُنفَّذ بالفعل في الأنظمة الصوتية والفوتونية. للتحليل، استُخدم مؤثر فلوكيه الذي يصف التطور عبر دورة كاملة، وانتقلوا إلى إطار زمني متماثل تظهر فيه التناظر الكيرالي وتناظر الانتقال الإسقاطي. تميزت الطوبولوجيا بزوج من أعداد اللف المعممة المعرفة عند نقطة تناظر عالية في فضاء الزخم.

أظهرت الحسابات وجود أربعة أطوار مختلفة: الطور التافه، طور موبيوس-0 (حيث تلتف نطاقات الحافة حول شبه الطاقة 0)، طور موبيوس-π (حول π)، وطور موبيوس-0π (كلاهما معًا). الأطوار ذات الالتفاف حول π ليس لها نظير ثابت، فهي ظاهرة فلوكيه بحتة. تأخذ أعداد اللف (ω0, ωπ) القيم (0,0)، (1,0)، (0,1)، و(1,1) على التوالي، ويُحدد عدد نطاقات الحافة الموبيوسية بالقاعدة (N0, Nπ) = 2(|ω0|, |ωπ|). بالإضافة إلى ذلك، على الخطوط الحرجة حيث تُغلق الفجوة الحجمية، اكتُشفت نقاط حرجة طوبولوجيًا غير تافهة مع تعايش بين الحجم اللافجوي ونطاقات الحافة الموبيوسية. أكد طيف التشابك والديناميكا الأدياباتيكية الطبيعة الطوبولوجية لهذه الحالات.

يوسع هذا العمل مفهوم الأطوار الطوبولوجية الموبيوسية ليشمل الأنظمة غير المتوازنة، ويُظهر أن القيادة الدورية يمكن أن تولد حالات طوبولوجية يستحيل وجودها في السكون. هذا يضيف فئة جديدة إلى الجدول الدوري لعوازل فلوكيه الطوبولوجية المحمية بمزيج من التناظر الكيرالي وتناظر الانتقال الإسقاطي. على عكس الأعمال المجاورة حول عوازل موبيوس الثابتة، هنا ولأول مرة تُعرض نطاقات حافة موبيوس-π وتعايشها مع نطاقات موبيوس-0 في نظام واحد.

الخطوة التالية الطبيعية هي التنفيذ التجريبي للنموذج المقترح في موجّهات صوتية أو شبكات فوتونية، حيث توجد بالفعل تقنيات لإنشاء فيض π وتعديل دوري. ومن المثير أيضًا دراسة تفاعل الجسيمات في مثل هذه الأنظمة وإمكانية استخدام حالات حافة موبيوس في الكيوبتات المحمية طوبولوجيًا.