يسقط حجر في بركة، فتنتشر الدوائر بالتساوي في كل الاتجاهات. لكن توجد أوساط تبدو فيها الموجة وكأنها تعرف إلى أين تتجه: كمياه تدور فقط في اتجاه عقارب الساعة. هذا التباين تصنعه اللزوجة الفردية والمرونة الفردية — خصائص أوساط ذات تناظر مرآتي مكسور. توجد مثل هذه الأوساط، على سبيل المثال، في بعض البلورات السائلة أو السوائل النشطة المكونة من خلايا حية.

بنى مؤلفو العمل نظرية للاضطراب في مثل هذه الأوساط — عندما تتفاعل موجات ضعيفة عشوائية كثيرة مع بعضها. بالنسبة لسائل ثلاثي الأبعاد ذي لزوجة فردية، اشتقوا معادلة. تُظهر كيف تنتقل الطاقة من الدوامات الكبيرة إلى الصغيرة. هذا الشلال المباشر يخضع لطيف خاص — توزيع الطاقة على أحجام الدوامات — يعتمد على الاتجاه. أما بالنسبة لخيط مرن أحادي البعد ذي مرونة فردية، فالصورة مختلفة. تتفاعل الموجات ببطء أكبر بكثير، وهنا ينشأ شلال عكسي. تتجمع الطاقة في حركات كبيرة، كما لو أن تموجات على حبل اندمجت فجأة في انحناءة واحدة ناعمة.

أكدت المحاكاة الحاسوبية كلا التنبؤين. بالنسبة للزوجة الفردية، يظهر الشلال المباشر بوضوح مع طيف متباين الخواص. أما بالنسبة للمرونة الفردية، فكان الشلال العكسي ضبابيًا بعض الشيء — تشير النظرية إلى تصحيح لوغاريتمي — لكنه ما زال معروفًا. هذه النتائج ليست مجرد تمرين رياضي. إنها تساعد في فهم سلوك الأوساط النشطة — من الهيكل الخلوي إلى التيارات الجيوفيزيائية — حيث يكون التناظر مكسورًا ولا تعمل قوانين الاضطراب المألوفة. هكذا، حجر يُلقى في بركة غير عادية يولّد دوائر تتذكر اتجاهها.