A Lie group is a mathematical group that is also a smooth manifold with continuous symmetry operations.زمرة لي هي زمرة تُوسم عناصرها بسلاسة بعدد محدود من البارامترات، مما يجعلها متعدد شعب أملس. تشكل الدورانات في الفضاء ثلاثي الأبعاد الزمرة SO(3). بالقرب من العنصر الواحد (الدوران المطابق)، يعطي الفضاء المماس جبر لي — فضاء متجه مع عملية قوس لي. في الفيزياء، يحدد قوس لي علاقات التبديل لمولدات التناظر، مثلاً [J_x, J_y] = iħJ_z.
أدخل سوفوس لي في سبعينيات القرن التاسع عشر الزمر المستمرة، بداية لتناظرات المعادلات التفاضلية. طور هنري بوانكاريه الجانب الشمولي بدراسة الزمرة الأساسية. ربطت إيمي نوثير الزمر الجزئية أحادية البارامتر من زمر لي بقوانين الحفظ. في فيزياء القرن العشرين، أصبحت زمر لي هيكلًا للنظريات المعيارية (يانغ، ميلز)، واكتسب تصنيف كارتان معنى فيزيائيًا في النموذج المعياري.
ينقل التطبيق الأسي exp: 𝔤 → G عناصر جبر لي إلى عناصر الزمرة. تحدد مبدلات الجبر عدم تبديلية الزمرة. تمثيل الزمرة هو تشاكل إلى GL(V)، يتفكك إلى تمثيلات غير قابلة للاختزال. المولدات (أساس 𝔤) في التمثيل تعطي مؤثرات هيرميتية في الفيزياء، قيمها الذاتية تكمم الشحنات.
تتحكم زمرة لي SO(3) بتوجيه الطائرة بدون طيار في الفضاء. وجدول الجسيمات الأولية بأكمله مشفر بجداء زمر لي SU(3)×SU(2)×U(1) — أساس النموذج المعياري.
تشكل دورانات مكعب روبيك زمرة منتهية، وليس زمرة لي، لأن الدورانات تحدث بقفزات. أما استقطاب الضوء فتوصفه الزمرة U(1) — عناصرها تغير طور الموجة بسلاسة.
