A category is a mathematical structure consisting of objects and morphisms that relate them.تتحدد الفئة شكلياً بصنف من الكائنات، ومقابل كل زوج من الكائنات مجموعة من التشاكلات (سهام تدل على التحويلات المسموحة) مع عملية تركيب. التركيب تجميعي: إذا طُبق السهم f ثم g ثم h، فلا يهم إن جُمعت على أنها h بعد (g بعد f) أو (h بعد g) بعد f. لكل كائن سهم محايد يبقيه دون تغيير. جوهر النظرية هو تجاهل البنية الداخلية للكائنات والتركيز على الروابط بينها، مما يمنح لغة جامعة لبناء منشآت مثل جداء الكائنات (طريقة لدمج كائنين) أو الحد المشترك (طريقة لتوحيد معلومات من عدة كائنات).
نشأت الفئات في أعمال صموئيل إيلنبرغ وسوندرز ماكلين (1942–1945) حول أسلمة التحويلات الطبيعية في الطوبولوجيا الجبرية. في خمسينيات وستينيات القرن العشرين، أعاد ألكسندر غروتينديك بناء الهندسة الجبرية بلسان الفئات واستحدث مفهوم التوبوس. بالتوازي، طور وليم لوفر المنطق الفئوي. منذ ثمانينيات القرن العشرين، تُستخدم الفئات بنشاط في علوم الحاسوب (مثلاً المونادات في البرمجة الدالية). وفي القرن الحادي والعشرين، ظهرت تطبيقات في الفيزياء الكمومية (الميكانيك الكمومي الفئوي) ونظرية الأنماط.
يقوم العمل على مسلمات التركيب والخصائص الكونية. مثال ذلك، جداء الكائنين A وB في فئة ما لا يُعرَّف بالبناء بل بخاصية: هو كائن P مع زوج من الإسقاطات p₁: P→A، p₂: P→B، بحيث يوجد لأي كائن X مع تشاكلين f: X→A و g: X→B تشاكل وحيد h: X→P يجعل المخطط تبادلياً. هذا يتيح البرهنة على مبرهنات دون الالتجاء إلى عناصر الكائنات. ومبدأ الثنوية (عكس جميع السهام) يضاعف عدد المبرهنات القابلة للبرهان.
يسهّل هذا المنظور نقل الأفكار بين فروع الرياضيات المختلفة. وفي المعلوماتية، تُستعمل الفئات للتحقق الدقيق من أنواع البرامج، وفي الفيزياء لنمذجة الحوسبة الكمومية.
يطلق أحياناً على نظرية الفئات مازحين اسم «الهراء المجرد»، في إشارة إلى عموميتها القصوى التي وفرت مع ذلك أساساً صارماً للعديد من مجالات الرياضيات.
| X | متغير | first random variable — متغير عشوائي |
| Y | متغير | second random variable — متغير عشوائي |
| Var(X) | متغير | variance of X — التباين |
| Var(Y) | متغير | variance of Y — التباين |
| Var(X+Y) | متغير | variance of the sum X+Y — التباين |
| U | متغير | open set (topological space) — topological space |
| r | متغير | number of independent Z/2Z factors — rank |
| X | متغير | a set — set |
| κ | متغير | a cardinal number — cardinal number |
| |X| | مؤثر | cardinality of the set X — cardinality |
| cf(κ) | مؤثر | cofinality of the cardinal κ — cofinality |
