En una gran ciudad, después de la lluvia, el agua se acumula en los mismos bajíos, sin importar dónde caigan las primeras gotas. Una hora después, el panorama de los charcos apenas depende del punto exacto donde comenzó el aguacero. Eso es el equilibrio: un resultado al que el sistema llega independientemente del punto de partida, si se olvidan los detalles.
En matemáticas, estas situaciones se describen mediante el formalismo termodinámico, un conjunto de reglas para sistemas donde hay memoria del pasado, pero que se desvanece gradualmente. Tomemos una baraja de cartas que se baraja siguiendo una regla estricta, pero con una pequeña aleatoriedad en los movimientos de las manos. Después de muchos barajados, el orden de las cartas se vuelve predecible en promedio, aunque la secuencia exacta sea imposible de adivinar. Los científicos llaman a esto la medida de Gibbs, que indica cuán probable es cada configuración en estado de reposo.
Los autores del nuevo trabajo tomaron cinco de las definiciones más utilizadas de dicha medida: mediante reglas locales de reemplazo de unos estados por otros, mediante grandes desviaciones del comportamiento típico, mediante vectores propios de un operador especial, mediante el principio de mínima energía y mediante la vieja y buena construcción «cilíndrica». Y demostraron que todas dan exactamente el mismo objeto. Además, lo hicieron con números explícitos: qué tan rápido converge todo, cuál es el error si se varía ligeramente la temperatura del sistema.
La utilidad práctica reside en las garantías. Cuando un ingeniero modela la turbulencia en un motor o un biólogo cuenta mutaciones en una población, puede tomar cualquiera de las cinco definiciones, la que le resulte más conveniente para los cálculos, y estar seguro de que el resultado no se desmoronará. Además, el trabajo proporciona estimaciones de la velocidad con que se olvidan las condiciones iniciales, lo cual es clave para predecir cuánto tarda el sistema en calmarse tras un empujón. Y esto es solo la primera parte de un gran ciclo de seis artículos sobre el caos y el orden. Así volvemos a los charcos después de la lluvia: ahora está claro que las matemáticas no solo pueden describir su aparición inevitable en los bajíos, sino también decir en cuántos minutos la imagen se volverá estable.
El método utilizado en la demostración, la contracción en el cono de Birkhoff, proviene de la geometría. Si se mira una farola a través de un cono estrecho de papel, todo lo que cae dentro parece más cercano al centro. Aquí ocurre lo mismo: el operador «contrae» el espacio de probabilidades hacia un único estado de equilibrio.
En la novela «Fundación» de Isaac Asimov, la psicohistoria predice el comportamiento de grandes masas de personas basándose en leyes estadísticas. La medida de Gibbs es el fundamento matemático de esa ciencia: dice hacia dónde se moverá la sociedad en promedio, incluso si cada individuo es impredecible.