Un fractal en forme de papillon renferme un ordre qui n'est pas visible au premier regard. Dans le monde quantique des quasi-cristaux unidimensionnels décrits par le modèle de Komoto, le spectre des énergies forme une figure étrange : le papillon de Komoto. Pendant longtemps, on n'a pas réussi à le colorer complètement : il fallait attribuer à chaque lacune du spectre un nombre entier, un indice topologique, mais les outils standard échouaient à cause du potentiel discontinu. Les nombres de Chern, habituels pour les systèmes lisses, ne sont tout simplement pas définis ici.

La généalogie de la quasi-périodicité, voilà la clé que proposent les auteurs. Ils construisent un arbre orienté infini, dont chaque sommet correspond à une bande spectrale ou à une lacune dans l'approximation périodique de l'opérateur quasi-périodique. Cet arbre pousse à partir des chiffres du développement en fraction continue du nombre irrationnel qui définit la quasi-périodicité. En suivant les chemins dans cet arbre, on peut attribuer de manière unique un indice à chaque lacune : pour chaque sommet, on calcule une matrice Q, et son déterminant donne un nombre entier. L'ambiguïté qui permettait auparavant un décalage d'un multiple du dénominateur de l'approximation disparaît.

Le résultat est impressionnant : le diagramme de phase est entièrement coloré. Chaque lacune du spectre se voit désormais attribuer un indice entier unique, et l'ordre de ces indices suit la structure de l'arbre. Contrairement au papillon de Hofstadter, le complément du papillon de Komoto est constitué d'une seule composante connexe, de sorte que les indices ne sont pas liés à des régions isolées. Les phases rouges peuvent s'interrompre sans fermeture continue de la lacune, un comportement qui contredit l'intuition issue des modèles lisses. C'est une preuve mathématique rigoureuse, et non une expérience numérique.

L'utilité pratique est déjà visible. Les expérimentateurs qui créent des quasi-cristaux dans des réseaux photoniques ou des systèmes d'atomes ultrafroids peuvent désormais prédire avec précision dans quel système fini l'indice topologique souhaité apparaîtra. La méthode des arbres spectraux ouvre la voie à la classification d'autres modèles quasi-périodiques, ainsi qu'à la preuve rigoureuse de l'équivalence entre les papillons de Komoto et de Hofstadter. La question de la classification topologique complète de tous les opérateurs quasi-périodiques reste ouverte, mais ce travail constitue une avancée importante.