Une goutte de crème tombe dans une tasse de café — et en une minute, toute la boisson devient beige. Ce processus de mélange peut être mesuré : de combien faut-il « remuer » une distribution de particules pour la transformer en une autre ? En mathématiques, cette approche s'appelle le transport optimal, et la mesure de l'effort est la distance de Wasserstein.
Les auteurs de l'étude ont appliqué cette idée aux systèmes quantiques. Ils ont pris l'exemple le plus simple — un oscillateur harmonique quantique unique (un pendule du monde microscopique) — et ont suivi l'évolution de son état lorsqu'il échange de l'énergie avec son environnement. Si l'on mesure la distance entre les états de l'oscillateur à l'aide du transport optimal, l'histoire même de ses changements s'organise en une géométrie semblable à l'espace-temps autour d'un trou noir. Là où l'information sur le système se perd irréversiblement, apparaît un analogue de l'horizon des événements — la surface sous laquelle même la lumière ne peut revenir.
La même recette a été testée sur un modèle plus complexe — un sous-système du modèle SYK, qui décrit en théorie holographique un trou noir bidimensionnel. La géométrie obtenue coïncidait exactement avec l'espace anti-de Sitter déjà connu, confirmant l'intuition. Curieusement, la mesure de distance utilisée s'est avérée apparentée à la complexité de Krylov — une grandeur qui évalue à quel point un système quantique devient « enchevêtré » au fil du temps.
La distance de Wasserstein doit son nom au mathématicien soviétique Leonid Wasserstein, mais la méthode du transport optimal remonte aux travaux de l'ingénieur français Gaspard Monge, qui au XVIIIe siècle réfléchissait à la manière de déplacer efficacement la terre lors de la construction de fortifications.
Dans le roman « La Cité des permutants » de Greg Egan, des univers virtuels émergent d'automates cellulaires — ici, l'espace-temps naît du jeu des probabilités des systèmes quantiques.