L'opérateur représentant l'énergie totale d'un système quantique, qui régit son évolution temporelle.Le hamiltonien est un opérateur de la mécanique quantique qui représente l'énergie totale d'un système. Il joue un rôle central dans l'équation de Schrödinger, qui décrit l'évolution temporelle de l'état quantique d'un système. Le hamiltonien encode toutes les informations sur l'énergie cinétique et les interactions potentielles du système, ce qui en fait le « moteur » fondamental qui pilote la dynamique quantique.
Le concept a été introduit par William Rowan Hamilton dans les années 1830 comme une reformulation de la mécanique classique. Il a ensuite été adapté à la mécanique quantique par Erwin Schrödinger en 1925-1926, qui l'a utilisé pour formuler sa célèbre équation d'onde.
En mécanique quantique, le hamiltonien est un opérateur mathématique qui agit sur la fonction d'onde. Ses valeurs propres correspondent aux niveaux d'énergie possibles du système, et ses vecteurs propres sont les états stationnaires. L'évolution temporelle de tout état quantique est régie par l'exponentielle du hamiltonien, qui « fait tourner » l'état dans le temps selon son contenu énergétique.
Le hamiltonien est utilisé dans pratiquement tous les calculs de physique quantique, de la modélisation des atomes et des molécules à la conception d'ordinateurs quantiques et à la simulation de systèmes de matière condensée.
En informatique quantique, le hamiltonien d'un système peut être conçu pour résoudre des problèmes d'optimisation, une technique connue sous le nom de recuit quantique.
| ρ | variable | density matrix of the open quantum system — matrice de densité |
| t | variable | time — temps second |
| H | variable | Hamiltonian of the system — hamiltonien joule |
| L_n | variable | Lindblad operators (jump operators) for each dissipation channel — lindblad operator |
| i | constante | imaginary unit, square root of -1 — unité imaginaire = 1 |
| ħ | constante | Planck constant divided by 2π — constante de Planck réduite = 1.054571817e-34 joule second |
| d/dt | opérateur | derivative with respect to time — dérivée temporelle |
| [H, ρ] | opérateur | commutator of H and ρ — commutateur |
| {L_n† L_n, ρ} | opérateur | anticommutator of L_n† L_n and ρ — anticommutator |
| ∑_n | opérateur | sum over all dissipation channels — sum over channels |
| H | variable | Hamiltonian operator — hamiltonien joule |
| t | variable | hopping amplitude — énergie joule |
| γ_{2j} | variable | Majorana operator at site 2j — majorana operator |
| γ_{2j+1} | variable | Majorana operator at site 2j+1 — majorana operator |
| ∑ | opérateur | sum over lattice sites j — somme |
| H | variable | Hamiltonian (total energy operator) — hamiltonien joule |
| J | variable | Exchange coupling constant between neighboring spins — couplage d'échange joule |
| \mathbf{S}_i | variable | Spin operator at site i — spin operator |
| \mathbf{S}_j | variable | Spin operator at site j — spin operator |
| \sum_{\langle i,j \r | opérateur | Summation over all pairs of adjacent lattice sites — sum over nearest neighbors |
| H | variable | Hamiltonian (total energy operator) — hamiltonien joule |
| J_{ij} | variable | Exchange coupling constant between sites i and j — couplage d'échange joule |
| \mathbf{S}_i | variable | Spin operator at site i — spin operator |
| \mathbf{S}_j | variable | Spin operator at site j — spin operator |
| \sum_{\langle i,j \r | opérateur | Summation over all pairs of adjacent lattice sites — sum over nearest neighbors |
| H_eff | variable | effective static Hamiltonian — hamiltonien joule |
| H_0 | variable | time-averaged Hamiltonian — hamiltonien joule |
| H_{-1} | variable | first negative Fourier component of the Hamiltonian — hamiltonien joule |
| H_{+1} | variable | first positive Fourier component of the Hamiltonian — hamiltonien joule |
| frequency | variable | driving frequency — fréquence angulaire radian per second |
| [ , ] | opérateur | measures the non-commutativity of two operators — commutateur |
| E_n | variable | Perturbed energy of state n — énergie joule |
| E_n^{(0)} | variable | Unperturbed energy of state n — énergie joule |
| E_m^{(0)} | variable | Unperturbed energy of state m — énergie joule |
| H' | variable | Perturbation Hamiltonian — hamiltonien joule |
| |n^{(0)}\rangle | variable | Unperturbed state n — état quantique |
| |m^{(0)}\rangle | variable | Unperturbed state m — état quantique |
| \sum_{m \neq n} | opérateur | Sum over all states m except n — somme |
| \langle m^{(0)} | H' | opérateur | Matrix element of perturbation between unperturbed states — élément de matrice |
