L'orchestre joue dans une salle sombre, et l'auditeur n'entend qu'un bourdonnement : des centaines d'instruments se fondent en un bruit dense, où il est impossible de distinguer une mélodie. C'est à peu près ainsi que se présentent les spectres extraits des données climatiques par des méthodes comme l'opérateur de Koopman : des centaines de composantes, chacune avec sa fréquence, et on ne sait pas lesquelles sont de vrais musiciens et lesquelles ne sont que le grincement des chaises. L'opérateur de Koopman est un chef d'orchestre mathématique qui décrit la dynamique non linéaire à travers une action linéaire sur les fonctions d'état, mais son orchestre est trop grand pour être dirigé.
Les auteurs de l'étude ont décidé de trouver dans ce bruit des notes stables. Ils ont pris les anomalies mensuelles de température de surface du Pacifique tropical de deux sources indépendantes : la réanalyse ERA5 et la reconstruction HadISST. Les données de 1940 à 2010 ont servi d'échantillon d'apprentissage, et les quinze années suivantes d'échantillon de validation. Pour chaque paire calculée « valeur propre – fonction propre », ils ont évalué le résidu selon la méthode ResDMD : à quel point cette paire satisfait l'équation de Koopman. Ensuite, le long du cercle unité, ils ont construit une fonction pseudospectrale du résidu. Les minima locaux de cette fonction indiquent des fréquences qui ne se dérèglent pas sous une légère perturbation, comme un diapason qui continue de vibrer même si on frappe des mains à côté.
Ces dix-neuf fréquences stables forment un cadre de Koopman. Parmi elles, on trouve une composante avec une période d'environ 3,6 ans, dont la structure spatiale reproduit le El Niño canonique avec des anomalies dans le Pacifique équatorial central et oriental. Les modes plus longs, d'environ 12,6 ans, ont une structure de bassin large avec une asymétrie méridionale marquée, tandis que les modes courts, d'environ 2,1 à 2,4 ans, sont concentrés plus près de la partie centrale de l'équateur. La reconstruction de l'indice Niño-3.4 à partir de ces dix-neuf modes explique 92 % de la variance de la période d'apprentissage. Pour comparaison, les modes de plus grande amplitude n'expliquent que 18 % avec les fonctions propres standard, et 81 % avec les fonctions pseudo-propres.
Les autres centaines de paires propres ne sont pas des musiciens indépendants. Beaucoup d'entre elles coïncident avec des puissances entières des modes fondamentaux, et le résidu croît avec l'ordre de la puissance. C'est comme si, dans l'orchestre, en plus des dix-neuf instruments principaux, on entendait leurs harmoniques et leurs combinaisons : la flûte et le hautbois ensemble produisent un troisième son qui n'est pas un instrument séparé, mais seulement leur sonorité conjointe. Les prévisions basées sur le cadre de Koopman conservent leur habileté sur des échéances de 8 à 18 mois, surpassant le modèle inverse linéaire et les modèles qui utilisent tout le spectre ou seulement les modes d'amplitude.
Dans la salle sombre, on entend maintenant une mélodie. Les dix-neuf notes qui composent El Niño ne sont pas une simple abstraction mathématique, mais de véritables oscillations que l'on peut suivre et utiliser pour la prévision. La prochaine fois que le Pacifique décidera de réorganiser la circulation atmosphérique à l'échelle du globe, nous aurons la partition.
Sur environ 800 paires propres que produit k-EDMD pour chaque ensemble de données, seulement 19 modes fondamentaux suffisent pour expliquer 92 % de la variabilité de l'indice principal d'El Niño. En revanche, les modes de plus grande amplitude, que l'on choisit habituellement dans les modèles réduits, n'expliquent que 18 % de cette même variabilité si l'on utilise les fonctions propres standard.
L'idée d'un cadre caché de basse dimension derrière un spectre dense rappelle l'intrigue de la nouvelle de Ted Chiang « L'histoire de ta vie », où un signal non linéaire complexe s'avère être généré par un petit ensemble de motifs de base, dont la compréhension change la perception du temps et la prédiction de l'avenir.