Le trieur magnétique de particules
Deux flux rapides de particules chargées entrent en collision — et les lignes de champ magnétique commencent à se rompre et à se reconnecter. Ce processus alimente les éruptions solaires et les aurores boréales.
An eigenvalue is a scalar associated with a linear transformation that satisfies a specific equation.La valeur propre est un scalaire λ vérifiant l'équation Av = λv, où A est une transformation linéaire ou une matrice, et v un vecteur propre non nul. Elles reflètent les propriétés clés de la transformation : l'ensemble de toutes les valeurs propres est appelé le spectre. En physique, les valeurs propres représentent des grandeurs mesurables (par exemple l'énergie en mécanique quantique). La trace et le déterminant de la matrice sont respectivement égaux à la somme et au produit des valeurs propres.
Le problème des valeurs propres est apparu chez Euler lors de l'étude de la rotation des corps solides (1765), où il a trouvé les axes principaux de rotation (vecteurs propres) et les moments d'inertie (liés aux valeurs propres). Au XIXe siècle, Cauchy a appliqué les valeurs propres aux formes quadratiques, et Weierstrass a formalisé la théorie. Hilbert a introduit les termes « eigenvalue » et « eigenvector » vers 1900. Le lien avec la mécanique quantique est apparu dans les années 1920, lorsque Schrödinger a écrit son équation d'onde comme un problème aux valeurs propres, où les valeurs propres correspondent aux niveaux d'énergie.
Pour une matrice carrée A, l'équation (A - λI)v = 0 a des solutions v non nulles uniquement si le déterminant de (A - λI) est nul, d'où l'équation caractéristique. La résolution de cette équation polynomiale donne les valeurs propres. Pour les matrices symétriques ou hermitiennes, les vecteurs propres sont orthogonaux et les valeurs propres sont réelles — résultat du théorème spectral. En analyse fonctionnelle, le problème se généralise aux opérateurs différentiels (théorie de Sturm-Liouville). Numériquement, les valeurs propres sont calculées par itérations de puissance et par l'algorithme QR. En mécanique quantique, les observables sont des opérateurs hermitiens, et le résultat de la mesure est l'une des valeurs propres, les vecteurs propres étant les états.
L'algorithme PageRank de Google utilise les valeurs propres pour classer les pages web ; l'analyse des vibrations des ponts et des bâtiments s'appuie sur les valeurs propres pour éviter les fréquences de résonance.
À partir des valeurs propres d'une forme quadratique, on peut déterminer si la figure est une ellipse (les deux positives) ou une hyperbole (de signes différents).
| \mathbf{y} | variable | output vector — vector |
| \mathbf{x} | variable | input vector — vector |
| \mathbf{A} | variable | linear transformation matrix — matrix |