L'illusion gravitationnelle du simplexe : un centre qui repousse ✛ ✎

Regardez un triangle équilatéral — le simplexe probabiliste pour trois actifs. Chaque point à l'intérieur est un portefeuille : des parts non négatives dont la somme vaut un. Le centre du triangle, le barycentre, correspond à la répartition uniforme du capital (1/3, 1/3, 1/3). On pourrait croire qu'en s'approchant de ce point, on réduit le risque et on évite les frontières dangereuses. Mais sous certaines conditions, le chemin vers le centre traverse des gouffres invisibles.

Le piège géométrique est le suivant : la fonction d'agrégation η_ψ, qui détermine la structure de l'application de portefeuille dans la théorie stochastique des portefeuilles, courbe la région admissible. Si la courbure de cette fonction au barycentre est positive, alors il existe des paires de portefeuilles tout à fait autorisés dont la demi-somme — le milieu du segment — viole déjà l'interdiction des positions courtes. Autrement dit, la région cesse d'être convexe, et le simplexe lui-même se transforme en un champ d'anomalies gravitationnelles.

La clé de l'énigme est la forme normale des contraintes, dérivée via la décomposition coordonnée-agrégation :

\[ G_i(\mu) = B + \psi'(\mu_i) + \sum_{j=1}^n \eta_\psi(\mu_j) \]

Le terme ψ'($μ_i$) rend compte de la contribution de la coordonnée elle-même, et la somme η_ψ($μ_j$) accumule l'influence de tous les actifs. C'est précisément la non-linéarité de la fonction d'agrégation qui transforme le centre en entonnoir gravitationnel. La mesure de cette non-linéarité est la différence de Jensen — un analogue du test de convexité en calcul variationnel :

\[ J_{\eta_\psi}(x,h) = \eta_\psi(x+h) + \eta_\psi(x-h) - 2\eta_\psi(x) \]

Si J est positive pour de petits h, la fonction « bombe » vers le haut, et la moyenne des portefeuilles donne un creux inattendu. Dans le langage de la théorie des probabilités, cela signifie que l'espérance conditionnelle sort du cadre de l'approximation linéaire.

Cet effet n'est pas qu'une simple curiosité. Il frappe l'heuristique populaire « la diversification uniforme minimise le risque de ventes à découvert », intégrée dans de nombreux algorithmes de robot-conseil. Lorsque le robot conseille de se diriger vers le marché moyen, il peut, sans s'en rendre compte, recommander des portefeuilles avec des poids négatifs — c'est-à-dire des dettes. L'analyse des stratégies de portefeuille et des applications dynamiques doit tenir compte d'une telle géométrie, et la théorie des graphes du simplexe aide à visualiser ces liens. Des conditions suffisantes rassurantes ont déjà été trouvées : si η_ψ est concave ou si sa dérivée seconde domine strictement, le « centre » redevient un refuge. Curieusement, le cas entropique (fonction logarithmique) retrouve la géométrie la plus simple — la région est définie par des seuils indépendants.

Rappelez-vous l'image du triangle. Au début, il vous semble que le centre brille de sécurité. Mais maintenant vous savez : parfois, cette lumière n'est pas celle d'un phare, mais celle de la lave dans un cratère.