dérivée seconde — anatomie de la formuleLa dérivée seconde mesure la manière dont le taux de variation d'une grandeur change lui-même. Si la dérivée première d'une fonction vous donne sa pente ou sa vitesse, la dérivée seconde vous donne la pente de la pente — l'accélération de la grandeur. En physique, elle apparaît partout : la deuxième loi de Newton relie la force à la dérivée seconde de la position (l'accélération), et l'équation d'onde lie les dérivées secondes spatiales et temporelles.
Le concept est apparu avec le développement du calcul infinitésimal à la fin du XVIIe siècle, principalement grâce aux travaux d'Isaac Newton et de Gottfried Wilhelm Leibniz, qui ont formalisé les dérivées de tout ordre.
Pour une fonction f(x), la dérivée première f'(x) donne le taux de variation instantané. La dérivée seconde f''(x) est la dérivée de f'(x), calculée en appliquant à nouveau le même processus de limite. Géométriquement, elle indique la concavité : positive signifie que la fonction s'incurve vers le haut, négative vers le bas, et zéro marque un point d'inflexion. En cinématique, si x(t) est la position, alors x''(t) est l'accélération — la rapidité avec laquelle la vitesse change.
Utilisée en ingénierie pour l'analyse des vibrations (la dérivée seconde du déplacement donne l'accélération), en économie pour les rendements marginaux, et en physique pour dériver les équations du mouvement et la propagation des ondes.
La dérivée seconde d'une ligne droite est toujours nulle, c'est pourquoi un mouvement à vitesse constante semble fluide — aucune accélération.
| f''(x) | variable | Second derivative of function f at x — dérivée seconde per metre squared |
| f(x+h) | variable | Function value at x+h — valeur de fonction |
| f(x-h) | variable | Function value at x-h — valeur de fonction |
| f(x) | variable | Function value at x — valeur de fonction |
| h | variable | Step size — spacing metre |
| \approx | opérateur | Approximately equal to — approximation |
| \psi | variable | wave function — fonction d'onde |
| x | variable | position coordinate — position metre |
| k | variable | wave number — nombre d'onde per metre |
| V(x) | variable | potential function — énergie potentielle joule |
| \frac{d^2}{dx^2} | opérateur | second derivative with respect to position — dérivée seconde |
| ψ | variable | wave function — fonction d'onde |
| x | variable | position coordinate — position metre |
| V(x) | variable | potential energy function — énergie potentielle joule |
| E | variable | energy eigenvalue — énergie joule |
| d²/dx² | opérateur | second derivative with respect to position — dérivée seconde |
| V | variable | effective potential — énergie potentielle joule |
| f | variable | function whose curvature defines the potential |
| x | variable | independent variable — position metre |
| d²/dx² | opérateur | second derivative with respect to x — dérivée seconde |
| z | variable | scale factor or redshift depending on context — facteur d'échelle |
| ν | variable | Hankel index — hankel index |
| τ | variable | conformal time — conformal time second |
| '' | opérateur | second derivative with respect to the independent variable (here, conformal time) — dérivée seconde |
