La dérivée d'une fonction f en un point x est la limite du rapport de l'accroissement de la fonction Δf à l'accroissement de l'argument Δx, lorsque Δx tend vers zéro. On la note f'(x) ou df/dx. Si une fonction décrit une distance s(t), sa dérivée première s'(t) est la vitesse instantanée, la dérivée seconde s''(t) est l'accélération. Les règles de dérivation (somme, produit, fonction composée) permettent de calculer les dérivées de manière analytique sans passer directement par le calcul de limite.
Histoire
Dans les années 1660, Newton développa sa méthode des fluxions, et Leibniz dans les années 1670 créa un formalisme indépendant des différentielles dx. Une longue querelle de priorité stimula le développement des écoles britannique et continentale. Augustin-Louis Cauchy dans les années 1820 donna une définition rigoureuse ε-δ de la limite, sur laquelle repose la définition moderne de la dérivée. Riemann introduisit la notion d'intégrale, bouclant ainsi la théorie.
Comment ça marche
La dérivation est une opération linéaire : (f+g)' = f'+g', (cf)' = cf'. Les formules des dérivées des fonctions élémentaires (puissances, trigonométriques, exponentielles) sont obtenues à partir de la définition par la limite. Pour une fonction composée, on applique la règle de la chaîne : (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x). L'appareil des dérivées permet de résoudre des problèmes d'optimisation (annulation de la dérivée), de construire des approximations et d'étudier la dynamique des systèmes physiques via les lois de Newton, se ramenant à des équations différentielles.
En pratique
L'analyse de la croissance d'une population, la recherche du prix optimal pour maximiser les profits et la conception de routes automobiles fluides — partout, la dérivée est nécessaire.
Anecdote
Le taux de croissance de la population mondiale à l'instant présent est la dérivée de la fonction « nombre total d'habitants » par rapport au temps. Les économistes utilisent la dérivée pour la notion de coût marginal — de combien augmentent les coûts lorsque l'on produit une unité supplémentaire.
Une foule à l'entrée d'un couloir étroit ne se comporte pas comme dans une salle spacieuse : certains sont plaqués contre les murs, d'autres sont poussés vers l'avant. C'est à peu près ce qui se produit lorsqu'une particule allongée se retrouve dans un liquide grouillant d'haltères auto-propulsés.
Deux coureurs s'élancent sur une piste dont la pente varie. L'un part plus tôt, l'autre plus tard, et l'arbitre mesure leurs vitesses sans connaître la différence de départ. C'est la même chose avec les variants du virus : les données arrivent avec des retards, et si ces retards ne sont pas identiques, l'estimation de l'avantage compétitif peut être grossièrement erronée.
Dans un observatoire tranquille, un spectrographe capte la lumière d'une étoile lointaine. L'instrument la décompose en arc-en-ciel — le spectre. Les raies du spectre se déplacent légèrement : une planète invisible fait tanguer l'étoile.
On chauffe un morceau d'alliage d'aluminium — et il raconte tranquillement sa résistance. Il suffit d'entendre ce récit dans la façon dont le métal absorbe la chaleur.
La méthode habituelle pour connaître la résistance d'un alliage consiste à le tirer jusqu'à la rupture. C'est long et cela détruit l'échantillon.
Une fine plaque se dresse en travers d'un écoulement d'eau ou d'air. Derrière elle naît un sillage – une zone où le courant se brouille et se mélange. En général, un tel sillage devient turbulent lorsque la vitesse de l'écoulement est suffisamment grande, et le nombre de Reynolds en est la mesure.
Lorsque l'eau bouillonne derrière un bateau, l'énergie du mouvement se transforme en chaleur à travers une cascade de tourbillons. Mesurer directement la vitesse de ce processus est difficile : il faudrait suivre tous les tourbillons à la fois. C'est pourquoi les scientifiques utilisent une simplification : ils ne regardent qu'une seule composante de la vitesse en un point donné.
Le vent souffle régulièrement, mais soudain une rafale survient et les feuilles s'envolent en tourbillons. À l'intérieur de cette rafale, la vitesse de l'air ne change pas progressivement mais par à-coups – tantôt brusquement vers l'avant, tantôt sur le côté.
