A Lie group is a mathematical group that is also a smooth manifold with continuous symmetry operations.Un groupe de Lie est un groupe dont les éléments sont paramétrés de manière lisse par un nombre fini de paramètres, ce qui en fait une variété lisse. Les rotations dans l'espace tridimensionnel forment le groupe SO(3). Au voisinage de l'élément neutre (la rotation identique), l'espace tangent donne une algèbre de Lie — un espace vectoriel muni du crochet de Lie. En physique, le crochet de Lie définit les commutateurs des générateurs de symétrie, par exemple [J_x, J_y] = iħJ_z.
Dans les années 1870, Sophus Lie introduisit les groupes continus, initialement pour les symétries des équations différentielles. Henri Poincaré en développa l'aspect global, en étudiant le groupe fondamental. Emmy Noether relia les sous-groupes de Lie à un paramètre aux lois de conservation. En physique du XXe siècle, les groupes de Lie devinrent le cadre des théories de jauge (Yang, Mills), et la classification de Cartan acquit un sens physique dans le Modèle Standard.
L'application exponentielle exp: 𝔤 → G transforme les éléments de l'algèbre de Lie en éléments du groupe. Les commutateurs de l'algèbre déterminent la non-commutativité du groupe. Une représentation d'un groupe est un homomorphisme dans GL(V), décomposable en représentations irréductibles. Les générateurs (base de 𝔤) dans une représentation donnent en physique des opérateurs hermitiens, dont les valeurs propres quantifient les charges.
Le groupe de Lie SO(3) régit l'orientation d'un drone dans l'espace. Et tout le tableau des particules élémentaires est codé dans le produit des groupes de Lie SU(3)×SU(2)×U(1), fondement du Modèle Standard.
Les rotations du Rubik's Cube forment un groupe fini, et non un groupe de Lie, car les rotations se font par à-coups. En revanche, la polarisation de la lumière est décrite par le groupe U(1) — ses éléments modifient doucement la phase de l'onde.
