A category is a mathematical structure consisting of objects and morphisms that relate them.Formellement, une catégorie est définie par une classe d'objets et, pour chaque paire d'objets, un ensemble de morphismes (flèches indiquant les transformations admissibles) avec une opération de composition. La composition est associative : si on applique les flèches f, puis g, puis h, il n'importe pas qu'on les regroupe comme h après (g après f) ou comme (h après g) après f. Pour chaque objet, il existe une flèche identité qui le laisse inchangé. L'essence de la théorie est d'ignorer la structure interne des objets et de se concentrer sur les liens entre eux, ce qui fournit un langage universel pour construire des constructions telles que le produit d'objets (une manière de combiner deux objets) ou la colimite (une manière de fusionner l'information de plusieurs objets).
Les catégories sont apparues dans les travaux de Samuel Eilenberg et Saunders Mac Lane (1942-1945) sur l'axiomatisation des transformations naturelles en topologie algébrique. Dans les années 1950-60, Alexandre Grothendieck a refondé la géométrie algébrique en langage catégorique et introduit la notion de topos. William Lawvere a développé la logique catégorique. Depuis les années 1980, les catégories sont activement utilisées en informatique (par exemple, les monades en programmation fonctionnelle). Au XXIe siècle, des applications sont apparues en physique quantique (mécanique quantique catégorique) et en théorie des types.
Le fonctionnement repose sur les axiomes de composition et les propriétés universelles. Par exemple, le produit des objets A et B dans une catégorie est défini non pas par une construction, mais par une propriété : c'est un objet P avec une paire de projections p₁: P→A, p₂: P→B, tel que pour tout objet X avec des morphismes f: X→A et g: X→B, il existe un unique morphisme h: X→P rendant le diagramme commutatif. Cela permet de démontrer des théorèmes sans faire référence aux éléments des objets. Le principe de dualité (inversion de toutes les flèches) double le nombre d'énoncés démontrables.
Cette approche facilite le transfert d'idées entre différentes branches des mathématiques. En informatique, les catégories sont utilisées pour la vérification stricte des types de programmes, et en physique, pour la modélisation du calcul quantique.
La théorie des catégories est parfois appelée en plaisantant « abstract nonsense » (non-sens abstrait), soulignant son extrême généralité qui a néanmoins fourni une base rigoureuse à de nombreux domaines des mathématiques.
| w_1 | variable | weight for a — poids |
| a | variable | first value |
| w_2 | variable | weight for b — poids |
| b | variable | second value |
| X | variable | first random variable — variable aléatoire |
| Y | variable | second random variable — variable aléatoire |
| Var(X) | variable | variance of X — variance |
| Var(Y) | variable | variance of Y — variance |
| Var(X+Y) | variable | variance of the sum X+Y — variance |
| U | variable | open set (topological space) — topological space |
| r | variable | number of independent Z/2Z factors — rank |
| X | variable | a set — set |
| κ | variable | a cardinal number — cardinal number |
| |X| | opérateur | cardinality of the set X — cardinality |
| cf(κ) | opérateur | cofinality of the cardinal κ — cofinality |
