Лестница дьявола — так математики называют график, который выглядит как ступени, ведущие вверх, но ступени эти бесконечно тонкие и расположены без промежутков. В детерминированном отображении Арнольда, простейшей модели двух несоизмеримых колебаний, число вращения при слабой нелинейности образует именно такую лестницу: оно застревает на каждом рациональном значении частоты и поднимается только скачками. Добавьте к каждому шагу немного случайного шума — и ступени начинают сглаживаться, превращаясь в плавную кривую.
Но что происходит, когда нелинейность становится сильной? До сих пор это оставалось открытым вопросом. В новой работе авторы рассматривают стохастическое отображение Арнольда, где на каждом шаге к детерминированному сдвигу добавляется независимый равномерно распределённый шум. Они доказывают, что даже при нелинейности ε ≥ 1, когда отображение перестаёт быть диффеоморфизмом, число вращения остаётся дифференцируемой функцией параметра частоты τ во всех точках, где система перемешивающая. Иными словами, шум продолжает полировать лестницу, но теперь она может изгибаться.
Однако сглаживание не означает сохранение всех прежних свойств. Для ε = 1.4 и малой амплитуды шума ξ = 0.01 авторы обнаружили, что число вращения перестаёт быть монотонным: при увеличении τ от 0.707 до 0.716 оно сначала убывает, а затем возрастает. Лестница, которая раньше вела только вверх, теперь делает шаг вниз. При достаточно большом шуме, например ξ = 0.05, эта немонотонность исчезает, и кривая снова становится плавной и однонаправленной.
Этот результат связывает теорию линейного отклика с климатическими моделями. В явлении Эль-Ниньо взаимодействуют сезонный цикл и внутренняя неустойчивость океана, а короткопериодные возмущения, такие как порывы западного ветра, моделируются аддитивным шумом. Если число вращения может немонотонно зависеть от частоты, то захват частоты может происходить для несвязных областей параметров, что усложняет предсказание климатических колебаний.
Работа впервые строго устанавливает дифференцируемость числа вращения для сильной нелинейности в присутствии шума. Ранее это было известно только для диффеоморфизмов, то есть когда ε < 1. Обнаруженная немонотонность указывает на новые явления в случайных динамических системах и поднимает вопрос о том, как шум одновременно восстанавливает гладкость и порождает неожиданные изгибы лестницы. Методы компьютерно-поддерживаемых оценок могут быть распространены на другие семейства отображений и на более реалистичные модели климата, где шум уже используется для параметризации подсеточных процессов.
Название «лестница дьявола» для графика числа вращения отражает его ступенчатую структуру: на каждом рациональном значении частоты число вращения постоянно, а между ступенями происходят скачки. Добавление шума «сглаживает» эту лестницу, превращая её в гладкую кривую, но при сильной нелинейности лестница может изгибаться вниз, нарушая монотонность.