Горсть песка падает на стол — и каждая песчинка скатывается вниз, пока не замрёт в углублении. Так работает потенциал: поверхность стола подсказывает частицам, куда двигаться. Но в реке с водоворотами нет одной-единственной впадины, куда всё стремится. Вода кружится, возвращается, петляет. Для таких систем обычная карта «ям и холмов» не годится.
Авторы новой работы предлагают универсальный инструмент — обобщённую функцию Ляпунова. Это просто число в каждой точке, которое никогда не растёт вдоль реального пути системы. Если удаётся найти такую функцию, можно увидеть скрытый ландшафт: где движение замедляется, где застревает, а где его выносит на повторяющуюся орбиту. Раньше подобные функции строили для отдельных случаев. Например, Фрейдлин и Вентцель ввели квазипотенциал для систем со слабым шумом, а Ао — свой потенциал для биологических сетей. Но общего рецепта не было.
Исследователи применили нейросеть, которая не требует данных — только сами уравнения системы. В функцию потерь (то, что сеть минимизирует при обучении) зашили два условия: нарушение неравенства Ляпунова и слабое условие совместимости с шумом. Первое следит, чтобы функция не росла, второе добавляет устойчивость к случайным толчкам. Сеть училась на линейных системах, на бифуркации Хопфа (модель рождения колебаний), на осцилляторе Ван дер Поля (маятник с нелинейным трением) и на трёхмерном потоке «кольца Хопфа» — двух связанных предельных циклах в виде сцепленных петель.
Результат удивительный: обученная функция сама проявляла структуру системы. Устойчивые точки и замкнутые орбиты становились впадинами или плато, а неустойчивые области — хребтами. В случае зацепленных циклов ландшафт напоминал две переплетённые канавки, по которым скользит траектория, не нарушая общего спуска. Это похоже на горный серпантин: дорога петляет, но высота всё равно уменьшается.
Предельный цикл в осцилляторе Ван дер Поля — это как сердцебиение: оно самоподдерживается, не затухает и не требует внешнего толчка, а его форма не зависит от начальных условий.