Лагранжиан — это математическая функция, описывающая динамику системы; она часто применяется в оптимизации и анализе движения.Лагранжиан — это функция, зависящая от координат и скоростей всех частей системы. Вместо того чтобы рассматривать силы, как в механике Ньютона, здесь оперируют энергиями: кинетической (энергией движения) и потенциальной (энергией положения). Из принципа наименьшего действия следует, что реальное движение системы происходит так, чтобы суммарная разность этих энергий вдоль траектории была минимальна. Такой подход особенно удобен для систем со связями, например маятника на нерастяжимой нити, и позволяет вывести уравнения движения (уравнения Эйлера-Лагранжа).
Впервые изложен Жозефом Луи Лагранжем в «Аналитической механике» (1788) с целью построить механику без геометрических построений. В XIX веке Уильям Роуэн Гамильтон переформулировал его в гамильтонов формализм. Анри Пуанкаре развил теорию динамических систем. Эмми Нётер в 1918 году доказала теорему, связывающую непрерывные симметрии лагранжиана с сохраняющимися величинами. В квантовой теории поля лагранжиан стал основой Стандартной модели.
Для системы с обобщёнными координатами q_i лагранжиан записывают как L(q, q̇, t) = T − V. Уравнения Эйлера-Лагранжа получаются из требования равенства нулю вариации действия. Например, для частицы в потенциальном поле L = ½ m ẋ² − V(x). Теорема Нётер утверждает: каждой непрерывной симметрии лагранжиана соответствует интеграл движения (энергия, импульс и т.д.).
Используется для расчёта орбит планет, траекторий ракет, оптимизации механических устройств и в основах квантовой теории.
Метод Лагранжа дал возможность решать задачи, которые были слишком сложны для прямого применения законов Ньютона, например движение системы многих тел с ограничениями.
| x | переменная | Положение частицы — положение м |
| γ | переменная | Коэффициент трения — damping coefficient 1/с |
| ω | переменная | Собственная угловая частота осциллятора — угловая частота рад/с |
| η(t) | переменная | Случайная сила (шум) как функция времени — random force Н/кг |
| d²/dt² | оператор | Вторая производная по времени — second time derivative |
| d/dt | оператор | Первая производная по времени — first time derivative |
| r | переменная | расстояние между двумя точками — расстояние м |
| ν | переменная | параметр гладкости |
| l | переменная | параметр масштаба длины — длина м |
| σ | переменная | амплитуда дисперсии — дисперсия м² |
| Γ | оператор | Гамма-функция, обобщение факториала — gamma function |
| K_ν | оператор | Модифицированная функция Бесселя второго рода порядка ν — modified bessel function second kind |
| S_E | переменная | Евклидово действие — действие Дж·с |
| L_E | переменная | Евклидов лагранжиан — лагранжиан Дж |
| τ | переменная | Евклидово время — время с |
| ∫ | оператор | Интегрирование по евклидову времени — интегральный оператор |
| dτ | оператор | Инфинитезимальный элемент времени — differential element |
