في عام 1935، اقترح أينشتاين وبودولسكي وروزن تجربة فكرية رأوا أنها تكشف نقص ميكانيكا الكم. جسيمان يتباعدان بعد تفاعل، وقياس زخم أحدهما يعطي فورًا معرفة دقيقة بزخم الآخر. يبدو أنه يمكن معرفة موضع الجسيم الثاني أيضًا دون إزعاجه، وبالتالي تجاوز مبدأ عدم اليقين لهايزنبرغ. ظلت مفارقة EPR لعقود حجر اختبار لتفسيرات نظرية الكم.

يكمن حل المفارقة في منطق التنبؤ. التنبؤ بزخم الجسيم الثاني بعد قياس الزخم الكلي ليس عددًا، بل دالة مؤثرية القيمة: قيمتها عند كل نتيجة قياس هي نفسها مؤثر، وليست كمية عادية. هذا التوقع الشرطي الكمومي، الذي قدمته الدراسة، يراعي بدقة أن قياس مشاهِد واحد لا يحول آخر إلى متغير كلاسيكي. إنه مثل ظل القيمة المقيسة: يكرر شكلها، لكنه يعيش في العالم الكمومي للمؤثرات.

يقارن المؤلف نهجين: التوقع الشرطي الكمومي وحالة ما بعد القياس لفون نيومان. الطريقة الثانية هي إسقاط الحالة الابتدائية على الفضاء الجزئي المقابل للقيمة المقيسة، ثم تطبيع النتيجة. في النهاية، عندما يتجه مجال دقة القياس إلى الصفر، يعطي النهجان نفس التنبؤ. بالنسبة لحالة متشابكة غاوسية في تمثيل الزخم، يُحسب المتوسط الشرطي والتباين تحليليًا، ويكون التنبؤ بزخم الجسيم الثاني مساويًا لـ p − p1 باحتمال 1. هنا p هو الزخم الكلي المقيس، وp1 هو زخم الجسيم الأول.

عند القياس الدقيق للمشاهدات الكلية للنظام، تختفي الطبيعة الإحصائية للنظام: تصبح كثافة الاحتمال دالة دلتا عند نقطة الرصد. لكن هذا الحد لا يقابل أي متجه حالة في فضاء هلبرت. بالنسبة لدقة محدودة للقياسات، يتحقق مبدأ عدم اليقين لهايزنبرغ: حاصل ضرب عدم يقيني الموضع والزخم للجسيم الثاني لا يقل عن ħ/2. لا تُحل مفارقة EPR بحيلة، بل بمخطط احتمالي صارم يُظهر أن المعرفة الدقيقة بزخم جسيم واحد لا تعطي معرفة دقيقة بموضع الآخر.

توضح الدراسة البنية المنطقية لميكانيكا الكم. وتُظهر أن مفارقة EPR تنشأ من تجاهل الطبيعة المؤثرية للتوقعات الشرطية. لا توجد تطبيقات عملية واضحة بعد، لكن النتيجة مهمة لتفسير القياسات في الأنظمة المتشابكة ولنظرية المعلومات الكمومية. في المستقبل، يمكن تعميم النتائج على مشاهدات أكثر تعقيدًا وقياسات غير دقيقة، وكذلك تطبيق التوقعات الشرطية الكمومية على مسائل تقدير المعاملات الكمومية والتحكم الكمومي.